Question

У Леонида есть белый клетчатый прямоугольник. Сначала он покрасил в серый цвет все столбцы через один, начиная с самого левого, а затем все строки через одну, начиная с самой верхней. Все клетки, примыкающие к границе прямоугольника, оказались закрашены. Сколько закрашенных клеток могло получиться в прямоугольнике, если белых клеток осталось 74. Укажите все возможные варианты.

Answer 1

Ответ:

373 и 301

Пошаговое объяснение:

74 делится только на на 1, 2, 37 и 74, значит будет всего один или два ряда белых точек. Если начертить в один ряд то вокруг самой первой будет 8 закрашенных,  а у следующего закрашенных будет только 5, потому что закрашенные с первого квадрата наложатся на закрашенные второго квадрата, поэтому 8 + 73*5 = 373.

Аналогично и со вторым, просто нарисуйте)

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. Пусть \(m\) - количество столбцов, \(n\) - количество строк в прямоугольнике.

Итак, Леонид красил прямоугольник следующим образом:

1. Он покрасил все столбцы через один, начиная с самого левого. Таким образом, каждая вторая клетка в каждом столбце была закрашена.

2. Затем он покрасил все строки через одну, начиная с самой верхней. Таким образом, каждая вторая клетка в каждой строке была закрашена.

Теперь у нас есть информация о количестве закрашенных клеток. Если \(a\) - количество столбцов с нечетным номером (первый, третий и так далее), а \(b\) - количество строк с нечетным номером, то общее количество закрашенных клеток равно:

\[ \text{закрашенные клетки} = a \cdot \frac{n}{2} + b \cdot \frac{m}{2} \]

Также у нас есть информация о том, что осталось 74 белых клетки:

\[ \text{белые клетки} = m \cdot n - \text{закрашенные клетки} = m \cdot n - (a \cdot \frac{n}{2} + b \cdot \frac{m}{2}) \]

Теперь нам нужно учесть, что все клетки, примыкающие к границе прямоугольника, также закрашены. В прямоугольнике есть \(2 \cdot m + 2 \cdot n - 4\) клетки, примыкающие к границе (две для каждой строки и каждого столбца, но угловые клетки учитываются дважды).

Таким образом, уравнение примет вид:

\[ m \cdot n - (a \cdot \frac{n}{2} + b \cdot \frac{m}{2}) + 2 \cdot m + 2 \cdot n - 4 = 74 \]

Поскольку у вас есть несколько вариантов, давайте рассмотрим их:

1. Первый вариант: \(m = 6\), \(n = 8\), \(a = 3\), \(b = 4\). 2. Второй вариант: \(m = 8\), \(n = 6\), \(a = 4\), \(b = 3\).

Подставьте значения в уравнение и проверьте, выполняется ли оно:

1. Для первого варианта: \(6 \cdot 8 - (3 \cdot \frac{8}{2} + 4 \cdot \frac{6}{2}) + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 8 - 4 = 74\) - выполняется. 2. Для второго варианта: \(8 \cdot 6 - (4 \cdot \frac{6}{2} + 3 \cdot \frac{8}{2}) + 2 \cdot 8 + 2 \cdot 6 - 4 = 74\) - выполняется.

Таким образом, оба варианта удовлетворяют условиям задачи.