Question

Знайти екстремуми функції у= 3х^4 - 4х^3 + 1​

Answer 1

Ответ:

ДАНО

Y(x) = 3*x⁴ -4*x³ + 2

РЕШЕНИЕ

Экстремумы находим по первой производной.

Y'(x) = 12*x³ - 12*x² = 12*x²*(x-1) = 0

Три корня: x₁,₂ = 0, x₃ = 1.

Минимум/максимум -  Y(0) = 2

Минимум - Y(1) = 1.

Интервалы монотонности - ОТВЕТ

Убывает - Х∈(-∞;0]∪[0;1]

Возрастает - Х∈[0;0]∪[1;+∞)

Рисунок с графиком функции в приложении.

Дополнительно на графике - вторая производная и точки перегиба.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції \( y = 3x^4 - 4x^3 + 1 \), треба взяти похідну функції та розв'язати рівняння \(\frac{dy}{dx} = 0\).

Спочатку знайдемо похідну від \(y\) за \(x\):

\[ \frac{dy}{dx} = 12x^3 - 12x^2 \]

Тепер прирівняємо похідну до нуля та розв'яжемо рівняння:

\[ 12x^3 - 12x^2 = 0 \]

Виносимо спільний множник \(12x^2\):

\[ 12x^2(x - 1) = 0 \]

Отримали два чинники: \(12x^2 = 0\) та \(x - 1 = 0\). Розв'яжемо обидва рівняння:

1. З \(12x^2 = 0\) отримуємо \(x = 0\). 2. З \(x - 1 = 0\) отримуємо \(x = 1\).

Таким чином, ми отримали дві точки, де похідна дорівнює нулю: \(x = 0\) та \(x = 1\).

Тепер, щоб визначити, чи ці точки є точками максимуму чи мінімуму, можемо скористатися другою похідною та критерієм Дерев'є.

Друга похідна:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = 36x^2 - 24x \]

Тепер підставимо значення \(x = 0\) та \(x = 1\) у другу похідну:

1. Для \(x = 0\): \(\frac{d^2y}{dx^2}(0) = 0\) 2. Для \(x = 1\): \(\frac{d^2y}{dx^2}(1) = 12\)

Якщо \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\), то це точка мінімуму. Якщо \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\), то це точка максимуму.

Отже, у \(x = 0\) маємо точку мінімуму, а у \(x = 1\) - точку максимуму для функції \(y = 3x^4 - 4x^3 + 1\).