Question

Произведение 9 последовательных натуральных чисел делится на 1111. Какое наименьшее возможное значение может принимать среднее арифметическое этих 9 чисел?

Answer 1

Ответ:

97

Пошаговое объяснение:

1111=11*101

значит произведение 9 последовательных натуральных чисел делится на число 11 и 101 Тогда этими числами могут быть числа:

93, 94, 95, 96, 97, 98, 99,100,101

число 99:11

число 101:101

среднее арифметическое этих чисел    

(93+94+95+ 96+ 97+ 98+ 99+100+101)/9=873/9=97

если числа передвинуть на 1  т. е 94,95,96....102 то среднее арифметическое вырастет на 1 те станет равно 98

Answer 2

Давайте обозначим эти 9 последовательных натуральных чисел через \( n, n+1, n+2, \ldots, n+8 \), где \( n \) - первое число в последовательности.

Произведение этих чисел можно представить как:

\[ P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot \ldots \cdot (n+8) \]

Мы знаем, что \( P \) делится на 1111. Это значит, что каждый из множителей также делится на 1111.

Теперь находим, какие числа могут быть множителями в разложении 1111. 1111 разлагается на простые множители как \( 11 \cdot 101 \).

Мы имеем 9 последовательных чисел, и каждое из них должно делиться на 1111, следовательно, они не могут включать простые множители 11 и 101. Значит, каждое из этих чисел делится на оставшийся простой множитель.

Теперь, чтобы минимизировать среднее арифметическое, давайте рассмотрим наименьшее значение для \( n \), при котором одно из чисел делится на 11. Если \( n \) само делится на 11, то минимальное значение \( n \) будет 11 (потому что последовательные 9 чисел будут включать 11 и 20, которое делится на 11).

Таким образом, наше множество чисел будет: 11, 12, 13, ..., 19.

Теперь, чтобы минимизировать среднее арифметическое, мы просто находим среднее значение этого множества:

\[ \text{Среднее} = \frac{11 + 12 + 13 + \ldots + 19}{9} \]

Это равно:

\[ \text{Среднее} = \frac{11 + 19}{2} = 15 \]

Таким образом, наименьшее возможное значение среднего арифметического для 9 последовательных натуральных чисел, произведение которых делится на 1111, равно 15.