Question

1) Все натуральные числа от 500 до 1000 сложили. Определите последнюю цифру этого числа. 2) Докажите что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника являются вершинами квадрата. 3)На плоскости отмечены 111 различных точек. Можно ли соединить эти точки отрезками так, чтобы каждая из них соединялась с другими точками только 13 отрезками.Даю 100 баллов

Answer 1

Ответ:

1. 0

Пошаговое объяснение:

Так как нужна только последняя цифра мы можем отбросить десятки, сотни и тысячи.

Мы будем складывать только цифры от 0 до 9 какое то количество раз. Их сумма равна 45, но 4 уйдет в десятки. Остается только 5 на 10 сложенных чисел.

Подсчитаем количество таких десятков: 1000-500= 500 чисел. 500/10=50 десятков.

Умножаем 5 на 50, получается 250. 25 будет в сотнях и десятках, остается ноль.

Answer 2

1) Чтобы найти сумму всех натуральных чисел от 500 до 1000, можно использовать формулу для суммы арифметической прогрессии: Sn = (a1 + an) * n / 2, где Sn - сумма членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - последний член прогрессии, n - количество членов.

Первый член прогрессии a1 = 500, последний член прогрессии an = 1000, количество членов n = 1000 - 500 + 1 = 501.

Таким образом, сумма всех натуральных чисел от 500 до 1000 равна Sn = (500 + 1000) * 501 / 2 = 750500.

Последняя цифра этого числа - это единицы, то есть 0.

2) Для доказательства того, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника являются вершинами квадрата, можно воспользоваться геометрическими свойствами прямоугольников и квадратов.

Пусть у нас есть прямоугольник ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Пусть точки E, F, G и H - точки пересечения биссектрис углов A, B, C и D соответственно.

Так как E лежит на биссектрисе угла A, то AE равно ED (по свойству биссектрисы угла). Аналогично, BF = FC, CG = GD и AH = HD.

Рассмотрим треугольник AEF. Так как AE = ED и AF = FB, то треугольник AEF является равнобедренным. Аналогично, треугольники BFG, CGH и DHA также являются равнобедренными.

Поскольку у прямоугольника все углы прямые, сумма углов треугольника равна 180 градусам. Раз у нас имеется четыре равнобедренных треугольника AEF, BFG, CGH и DHA, то сумма углов в них равна 360 градусам.

Значит, углы EFG и GHD равны друг другу и оба равны 90 градусам, то есть EFGH является квадратом. Следовательно, точки пересечения биссектрис углов прямоугольника являются вершинами квадрата.

3) Чтобы соединить 111 различных точек отрезками так, чтобы каждая из них соединялась с другими точками только 13 отрезками, нам потребуется 111 * 13 / 2 = 720.5 отрезков. Однако, так как у нас доступно только целое число отрезков, то невозможно соединить все точки таким образом.

Следовательно, нельзя соединить все 111 точек отрезками так, чтобы каждая из них соединялась с другими точками только 13 отрезками.