Question

Найдите частные решения уравнений: d^2 y/dx^2 + dy/dx -20 = 0; y = 9/5 и dy/dx = 0 при x =0.

Answer 1

Ответ:

Resheno

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения частных решений данного уравнения, мы можем использовать метод интегрирования.

Шаг 1: Нахождение первой производной

Данное уравнение содержит производные второго порядка, поэтому нам необходимо найти первую производную функции y(x). Для этого возьмем первую производную от обоих частей уравнения:

d²y/dx² + dy/dx - 20 = 0

Берем первую производную:

d/dx (d²y/dx²) + d/dx (dy/dx) - d/dx (20) = 0

Поскольку мы ищем частное решение, мы можем проинтегрировать левую и правую части уравнения относительно x.

Шаг 2: Интегрирование

Интегрируем оба члена уравнения:

∫ (d²y/dx²) dx + ∫ (dy/dx) dx - ∫ 20 dx = ∫ 0 dx

Шаг 3: Интегрирование по частям

Для первого члена на левой стороне уравнения, мы можем использовать метод интегрирования по частям:

∫ (d²y/dx²) dx = (dy/dx) - ∫ (d/dx(dy/dx)) dx

Теперь мы можем переписать уравнение:

(dy/dx) - ∫ (d/dx(dy/dx)) dx + ∫ (dy/dx) dx - ∫ 20 dx = ∫ 0 dx

Шаг 4: Упрощение

Мы можем объединить интегралы с dy/dx:

(dy/dx + dy/dx) - ∫ (d/dx(dy/dx)) dx - ∫ 20 dx = 0

2(dy/dx) - ∫ (d/dx(dy/dx)) dx - ∫ 20 dx = 0

Шаг 5: Интегрирование

Интегрируем оставшиеся два члена уравнения:

2(dy/dx) - ∫ (d/dx(dy/dx)) dx = ∫ 20 dx

2(dy/dx) - ∫ (d²y/dx²) dx = 20x + C1

где C1 - постоянная интегрирования.

Шаг 6: Интегрирование по частям

Для второго члена на левой стороне уравнения, мы можем снова использовать метод интегрирования по частям:

∫ (d²y/dx²) dx = (dy/dx) - ∫ (d/dx(dy/dx)) dx

Подставляем это обратно в уравнение:

2(dy/dx) - [(dy/dx) - ∫ (d/dx(dy/dx)) dx] = 20x + C1

2(dy/dx) - (dy/dx) + ∫ (d/dx(dy/dx)) dx = 20x + C1

(dy/dx) + ∫ (d/dx(dy/dx)) dx = 20x + C1

Шаг 7: Решение уравнения

Мы получили уравнение, которое можно решить. Если мы обозначим ∫ (d/dx(dy/dx)) dx как F(x), то у нас будет:

(dy/dx) + F(x) = 20x + C1

Теперь мы можем решить это уравнение, используя начальные условия, y = 9/5 и dy/dx = 0 при x = 0. Подставим значения:

(0) + F(0) = 20(0) + C1

F(0) = C1

Шаг 8: Нахождение F(x)

Чтобы найти F(x), мы можем снова использовать метод интегрирования по частям:

∫ (d/dx(dy/dx)) dx = ∫ d²y/dx² dx = ∫ (d²y/dx²) dx

F(x) = ∫ (d²y/dx²) dx

Шаг 9: Решение F(x)

Мы можем решить уравнение для F(x), используя начальные условия, y = 9/5 и dy/dx = 0 при x = 0. Подставим значения:

F(x) = ∫ (d²y/dx²) dx

F(x) = ∫ 0 dx

F(x) = C2

где C2 - постоянная интегрирования.

Шаг 10: Окончательное решение

Теперь мы можем объединить все результаты, чтобы получить окончательное решение:

(dy/dx) + F(x) = 20x + C1

(dy/dx) + C2 = 20x + C1

(dy/dx) = 20x + C1 - C2

(dy/dx) = 20x + C

где C = C1 - C2 - постоянная интегрирования.

Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид:

y(x) = ∫ (20x + C) dx

y(x) = 10x² + Cx + D

где D - постоянная интегрирования.

Таким образом, частное решение уравнения d²y/dx² + dy/dx - 20 = 0 при y = 9/5 и dy/dx = 0 при x = 0 равно y(x) = 10x² + Cx + D.