Question

Доказать, что унитарные матрицы образуют группу.

Answer 1

1) Пусть $A,B$ - унитарные матрицы, $A^*,B^*$ - эрмитово сопряженные к ним. Тогда верны равенства $AA^*=A^*A=BB^*=B^*B=E$

Покажем, что $AB$ - унитарная матрица:

$AB(AB)^*=ABB^*A^*=AEA^*=AA^*=E$

Значит, произведение унитарных матриц - также унитарная матрица.

2) Ассоциативность умножения очевидна [оператор * для матриц ассоциативен, и при этом произведение элементов рассматриваемого мн-ва также принадлежит этому мн-ву]

3) $E^{-1}=E=E^*$, при этом $UE=EU=U$

Значит, $E$ - нейтральный элемент рассматриваемого мн-ва

4) Для любой унитарной матрицы обратной является эрмитово сопряженная, которая и сама (из определения унитарной матрицы) является унитарной.

Значит, для любой матрицы $U$ в мн-ве будет существовать обратная к ней $U^*$

Это и означает, что унитарные матрицы образуют группу относительно умножения

Ч.т.д.

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что унитарные матрицы образуют группу, нужно проверить, что выполнены четыре аксиомы группы:

1. Замкнутость: произведение двух унитарных матриц также является унитарной матрицей. Это следует из того, что если U и V - унитарные матрицы, то (UV)† = V†U† = V−1U−1 = (UV)−1, то есть UV - обратима и удовлетворяет условию унитарности. 2. Ассоциативность: произведение трех унитарных матриц не зависит от порядка скобок. Это следует из общего свойства ассоциативности матричного умножения. 3. Наличие единичного элемента: единичная матрица I является унитарной, так как I† = I и I−1 = I. Она также является единичным элементом по умножению, так как для любой унитарной матрицы U верно, что UI = IU = U. 4. Наличие обратного элемента: для любой унитарной матрицы U существует обратная матрица U−1, которая также является унитарной, так как U−1 = U†. Она также является обратным элементом по умножению, так как UU−1 = U−1U = I.

Таким образом, все четыре аксиомы группы выполнены, и множество унитарных матриц образует группу по умножению. Эта группа называется унитарной группой и обозначается U(n), где n - порядок матриц. Для более подробной информации о свойствах и применениях унитарных матриц вы можете посмотреть статьи на Википедии и Науке.