Question

Пациенту произведена внутримышечная инъекция лекарства. Известно, что через каждые полчаса количество лекарства в крови увеличивается на 2 единицы. Вместе с тем, в течение каждого получаса половина лекарства, поступившего в кровь распадается. Через какое наименьшее время в крови пациента будет не менее 10 единиц лекарства?

Answer 1

Ответ:

будет через 2 часа 30 минут

Answer 2

Давайте обозначим количество лекарства в крови через \( Q(t) \), где \( t \) - время в часах. После каждой половины часа проходит процесс увеличения количества лекарства на 2 единицы и одновременного распада половины текущего количества лекарства. Таким образом, у нас есть следующее дифференциальное уравнение:

\[ \frac{dQ}{dt} = 2 - \frac{Q}{2} \]

Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Разделим переменные и проинтегрируем обе стороны:

\[ \int \frac{1}{2 - \frac{Q}{2}} dQ = \int dt \]

\[ \int \frac{2}{4 - Q} dQ = \int dt \]

\[ -\ln|4 - Q| = t + C \]

где \( C \) - константа интегрирования. Решая это уравнение для \( Q \), мы получим:

\[ 4 - Q = Ce^{-t} \]

Теперь, учитывая начальное условие \( Q(0) = 0 \) (поскольку в начальный момент времени в крови нет лекарства), мы можем найти значение \( C \):

\[ 4 - 0 = Ce^0 \]

\[ C = 4 \]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ 4 - Q = 4e^{-t} \]

Теперь нам нужно определить, через какое время \( t \) количество лекарства \( Q \) будет не менее 10 единиц. Подставим \( Q = 10 \) и решим уравнение:

\[ 4 - 10 = 4e^{-t} \]

\[ -6 = -4e^{-t} \]

\[ e^{-t} = \frac{3}{2} \]

\[ t = -\ln\left(\frac{3}{2}\right) \]

Таким образом, наименьшее время \( t \), через которое количество лекарства в крови пациента будет не менее 10 единиц, составляет \(-\ln\left(\frac{3}{2}\right)\) часов.