Question

Составьте уравнение плоскости, проходящей через три данные точки не лежащие на одной прямой А(2;1;3),В(-1;2;5),С(3;0;1)

Answer 1

Находим нормальный вектор плоскости АВС как векторное произведение векторов АВ и АС.

Вектор АВ = (-1-2; 2-1; 5-3) = (-3; 1; 2).

Вектор АС = (3-2; 0-1; 1-3) = (1; -1; -2).

ABxAC = i       j       k|       i        j

             -3      1       2|     -3       1

              1      -1      -2|      1       -1 = -2i + 2j + 3k - 6j + 2i -1k = 0i - 4j + 2k.

Нормальный вектор равен (0; -4; 2).

Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Получаем 0x - 4y + 2z + D = 0.

Для определения величины D подставляем найденные коэффициенты нормального вектора и координаты точки А.

0*2 + (-4)*1 + 2*3 + D = 0, отсюда находим значение D = -2.

Ответ: уравнение плоскости -4y + 2z - 2 = 0.

Answer 2

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через три точки \( A(2;1;3) \), \( B(-1;2;5) \) и \( C(3;0;1) \), мы можем воспользоваться общим уравнением плоскости.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

\[ Ax + By + Cz = D \]

где \( A \), \( B \) и \( C \) - коэффициенты, определяющие направляющие векторы плоскости, а \( D \) - свободный член.

1. Найдем направляющий вектор плоскости. Для этого вычтем координаты точки \( A \) из координат точки \( B \) и из координат точки \( C \), чтобы получить два вектора, лежащих в плоскости:

\[ \vec{AB} = B - A = (-1 - 2, 2 - 1, 5 - 3) = (-3, 1, 2) \] \[ \vec{AC} = C - A = (3 - 2, 0 - 1, 1 - 3) = (1, -1, -2) \]

2. Теперь найдем векторное произведение этих векторов, чтобы получить нормальный вектор к плоскости:

\[ \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} \]

\[ \vec{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ \vec{N} = (2 + 2)\mathbf{i} - (-6 + 1)\mathbf{j} - (-3 + 3)\mathbf{k} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} \]

3. Теперь, когда у нас есть нормальный вектор \( \vec{N} = (4, 5, 0) \), мы можем использовать его координаты в уравнении плоскости:

\[ 4x + 5y + 0z = D \]

Возьмем любую из трех точек, например, точку \( A(2;1;3) \), и подставим ее координаты:

\[ 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 0 \cdot 3 = D \]

\[ 8 + 5 = D \]

\[ D = 13 \]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки \( A(2;1;3) \), \( B(-1;2;5) \) и \( C(3;0;1) \), будет:

\[ 4x + 5y = 13 \]