Question

Докажите или опровергните утверждение: неправильная дробь уменьшится, если к ее числителю и знаменателю прибавить одно и то же натуральное число.

Answer 1

пусть наша неправильная дробь

$\frac{x}{y}$

(х<у)

после прибавления к числителю и знаменателю z, где z- натуральное число:

$\frac{x + z}{y + z}$

найдем разность между этими дробями:

$\frac{x}{y} - \frac{x +z }{y + z} = \\ = \frac{xy + xz - xy - yz}{y(y + z)} = \\ = \frac{z(x - y)}{y(y + z)}$

так как х/у неправильная дробь, то х>у

и поэтому и разность наша >0

то есть при прибавлении одного и того же натурального числа к неправильной дроби, она уменьшается

Answer 2

Утверждение верное: если прибавить одно и то же натуральное число к числителю и знаменателю неправильной дроби, то она уменьшится.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим неправильную дробь вида a/b, где а - числитель, b - знаменатель, при условии, что a < b. Если мы прибавим одно и то же натуральное число n к числителю и знаменателю, получим новую дробь (a+n)/(b+n).

Произведем анализ значений новой дроби. Заметим, что a+n всегда будет больше a, так как мы прибавляем положительное число n. Также b+n всегда будет больше b по тем же причинам. Следовательно, числитель и знаменатель новой дроби увеличатся.

Поскольку числитель увеличивается больше, чем знаменатель, получается, что новая дробь (a+n)/(b+n) будет меньше исходной дроби a/b.

Таким образом, мы доказали, что неправильная дробь уменьшится, если к ее числителю и знаменателю прибавить одно и то же натуральное число.