Question

В урне лежат шары двух цветов – 2 черных и 7 белых шара. Наугад вынимают два шара. Используя формулы вероятности суммы и произведения событий, найдите вероятности событий: А – «вынули два белых шара», В - «вынули хотя бы один белый шар», С - «вынули ровно один белый шар».

Answer 1

Ответ:

1/36, 2/9

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулами вероятности суммы и произведения событий.

Пусть: - \(A\) - событие "вынули два белых шара", - \(B\) - событие "вынули хотя бы один белый шар", - \(C\) - событие "вынули ровно один белый шар".

Общее количество шаров в урне: \(2 + 7 = 9\).

1. Вероятность события \(A\) (вынули два белых шара):

\[ P(A) = \frac{\text{Количество способов выбрать 2 белых шара из 7}}{\text{Общее количество способов выбрать 2 шара из 9}} \]

\[ P(A) = \frac{C(7,2)}{C(9,2)} \]

\[ P(A) = \frac{\frac{7!}{2!(7-2)!}}{\frac{9!}{2!(9-2)!}} \]

\[ P(A) = \frac{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}}{\frac{9 \times 8}{2 \times 1}} \]

\[ P(A) = \frac{21}{36} \]

\[ P(A) = \frac{7}{12} \]

2. Вероятность события \(B\) (вынули хотя бы один белый шар):

Событие \(B\) включает в себя три возможных случая: - Вынули один белый и один черный шар, - Вынули два белых шара, - Вынули два черных шара (хотя это маловероятно, так как в урне всего 2 черных шара).

\[ P(B) = P(\text{вынули один белый и один черный}) + P(A) + P(\text{вынули два черных}) \]

\[ P(B) = \frac{C(7,1) \times C(2,1)}{C(9,2)} + \frac{C(7,2)}{C(9,2)} + \frac{C(2,2)}{C(9,2)} \]

\[ P(B) = \frac{\frac{7 \times 2}{1}}{\frac{9 \times 8}{2 \times 1}} + \frac{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}}{\frac{9 \times 8}{2 \times 1}} + \frac{1}{36} \]

\[ P(B) = \frac{14}{36} + \frac{21}{36} + \frac{1}{36} \]

\[ P(B) = \frac{36}{36} \]

\[ P(B) = 1 \]

3. Вероятность события \(C\) (вынули ровно один белый шар):

Событие \(C\) также включает в себя три случая: - Вынули один белый и один черный шар, - Вынули два белых шара, - Вынули два черных шара.

\[ P(C) = P(\text{вынули один белый и один черный}) + P(A) + P(\text{вынули два черных}) \]

\[ P(C) = \frac{C(7,1) \times C(2,1)}{C(9,2)} + \frac{C(7,2)}{C(9,2)} + \frac{C(2,2)}{C(9,2)} \]

\[ P(C) = \frac{\frac{7 \times 2}{1}}{\frac{9 \times 8}{2 \times 1}} + \frac{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}}{\frac{9 \times 8}{2 \times 1}} + \frac{1}{36} \]

\[ P(C) = \frac{14}{36} + \frac{21}{36} + \frac{1}{36} \]

\[ P(C) = \frac{36}{36} \]

\[ P(C) = 1 \]

Итак, получаем: \[ P(A) = \frac{7}{12} \] \[ P(B) = 1 \] \[ P(C) = 1 \]