Question

Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения круга x^2 + у^2 + 4х - 4у = 0 с прямой в y=-x и через точку А(4;4).

Answer 1

Ответ:

Перепишем уравнение окружности в удобной для работы форме.

\begin{gathered}x^2+y^2+4x-4y=0 \\ (x^2+4x+4)+(y^2-4y+4)-4-4=0 \\ (x+2)^2+(y-2)^2=8\end{gathered}

x

2

+y

2

+4x−4y=0

(x

2

+4x+4)+(y

2

−4y+4)−4−4=0

(x+2)

2

+(y−2)

2

=8

Далее чтобы найти точки пересечения окружности и нашей прямой, мы должны решить систему

\left \{ {{(x+2)^2+(y-2)^2=8} \atop {x+y=0}} \right.{

x+y=0

(x+2)

2

+(y−2)

2

=8

Это делается совсем нетрудно - всего лишь заменить x на -y или y на -x в первом уравнении и отбросить варианты, не удовлетворяющие x+y=0x+y=0 . В итоге получим два подходящих решения:

\begin{gathered}x_1=0; y_1=0 \\ x_2=-4; y_2=4\end{gathered}

x

1

=0;y

1

=0

x

2

=−4;y

2

=4

Отметим эти точки, а именно (0;0)(0;0) и (-4;4)(−4;4) а также точку M(4;4)M(4;4) на координатной плоскости. Нетрудно видеть, что наша окружность будет иметь центр в точке (0;4)(0;4) , так как расстояние от нее до наших трех точек одно и то же - 4 единицы.

Записать уравнение окружности с центром в точке (0;4)(0;4) и радиуса 4 совсем нетрудно. Это и будет ответом:

x^2+(y-4)^2=16x

2

+(y−4)

2

=16

Answer 2

Я постараюсь ответить на ваш вопрос подробно. Для начала, найдем точки пересечения круга x^2 + у^2 + 4х - 4у = 0 с прямой y = -x. Подставим y = -x в уравнение круга и получим:

x^2 + (-x)^2 + 4x - 4(-x) = 0

2x^2 + 8x = 0

x(2x + 8) = 0

x = 0 или x = -4

Подставим эти значения x в уравнение прямой y = -x и найдем соответствующие значения y:

y = -0 или y = 4

y = -(-4) или y = -4

Таким образом, точки пересечения круга и прямой имеют координаты (0; 0) и (-4; 4).

Теперь, чтобы найти уравнение окружности, проходящей через эти две точки и через точку А(4; 4), мы можем использовать формулу, которая связывает координаты центра окружности (x0; y0) и радиус R с координатами трех точек, лежащих на окружности:

| x^2 + y^2 - 2x0x - 2y0y + x0^2 + y0^2 - R^2 | x | y | 1 | |---------------------------------------------|---|---|---| | 0 | 0 | 0 | 1 | | 32 | -4| 4 | 1 | | 32 | 4 | 4 | 1 |

Решая эту систему уравнений методом Крамера, мы получим:

x0 = -2

y0 = 2

R^2 = 20

Следовательно, уравнение окружности имеет вид:

(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 20

Это ответ на ваш вопрос. Я надеюсь, что он был полезен для вас.