Question

В треугольнике ABC известно, что AB:BC=2:3. Найдите отношение высот треугольника, проведенных из вершин C и A.

Answer 1

(см. рисунок) Проведем АН ⊥ ВС, CQ ⊥ AB.

У треугольников АВН и CBQ – прямоугольных ∠В является общим ⇒

два других острых угла также равны друг другу: ∠ВАН = ∠ ВСQ ⇒

ΔАВН подобен ΔCBQ (по трём углам) ⇒ CQ : BC = AH : BA ⇒

CQ : AH = BC : BA = 3 : 2 ⇒ отношение высот треугольника, проведенных из вершин C и A, равно 3 : 2 (три к двум)

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать соотношение между сторонами треугольника и его высотами.

Согласно условию, отношение сторон AB к BC равно 2:3. Это означает, что длина стороны AB в два раза больше длины стороны BC.

Пусть h1 и h2 - высоты треугольника, проведенные из вершин C и A соответственно.

По определению, высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины к противоположной стороне. Таким образом, h1 - это высота, проведенная из вершины C к стороне AB, а h2 - это высота, проведенная из вершины A к стороне BC.

Давайте обозначим длину стороны AB как a, а длину стороны BC как b. Тогда у нас есть следующие соотношения:

AB = 2b BC = b

Также, по определению, площадь треугольника можно выразить через длину стороны и соответствующую ей высоту:

S = (1/2) * AB * h1 S = (1/2) * BC * h2

Поскольку треугольник ABC имеет одну и ту же площадь, мы можем приравнять эти два выражения:

(1/2) * AB * h1 = (1/2) * BC * h2

Подставляя значения AB и BC из первого соотношения, получаем:

(1/2) * 2b * h1 = (1/2) * b * h2

Упрощая, получаем:

b * h1 = b * h2

Так как b не равно нулю, мы можем сократить его с обеих сторон:

h1 = h2

Таким образом, отношение высот треугольника, проведенных из вершин C и A, равно 1:1. Оба отношения высот равны и равны единице.