Question

Даны координаты вершин пирамиды А(10, 2,-1), В(4,-5,-3), С(8,3,5), D(0, 1, 8). Найти угол между ребром AD и гранью АВС.

Answer 1

Находим уравнение плоскости АВС из которого используются координаты нормального вектора этой плоскости.

Решение:

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA        y - yA       z - zA

xB - xA     yB - yA     zB - zA

xC - xA     yC - yA     zC - zA   = 0.

Подставим данные и упростим выражение:

x - 10         y - 2          z - (-1)

4 - 10       (-5) - 2       (-3) - (-1)

8 - 10         3 - 2          5 - (-1)   = 0

x - 10         y - 2         z - (-1)

 -6             -7             -2

 -2              1               6   = 0

(x - 10)(-7·6-(-2)·1) - (y - 2)((-6)·6-(-2)·(-2)) + (z - (-1))((-6)·1-(-7)·(-2))  = 0.

(-40)(x - 10) + 40(y - 2) + (-20)(z - (-1)) = 0.

- 40x + 40y - 20z + 300 = 0.

2x - 2y + z - 15 = 0.

Нормальный вектор равен (2; -2; 1).

Вектор AD = (0-10; 1-2; 8-(-1)) = (-10; -1; 9).

Найдем угол между прямой

x - 10    =   y - 2   =    z + 1

 -10              -1              9

и плоскостью 2x  -  2y  + z -  15 = 0

Направляющий вектор прямой имеет вид:

s =  {-10; -1; 9}

Вектор нормали плоскости имеет вид:

q =  {2; -2; 1}

Угол между прямой и плоскостью:

sin φ =         | A · l + B · m + C · n            |       =

           √(A² + B² + C²) · √(l² + m² + n²)

=       | 2 · (-10) + (-2) · (-1) + 1 · 9 |                  =

   √(2² + (-2)² + 1²)· √((-10)² + (-1)² + 9²)

=           | -20 + 2 + 9 |                    =

   √(4 + 4 + 1) · √(100 + 1 + 81)

=       9            =

√9 · √182

=         9         = 3√182    = 0,22237.

        3√182          182

Угол равен 12,8486 градуса.

     

Answer 2

Для нахождения угла между ребром AD и гранью ABC, мы можем использовать скалярное произведение векторов. Сначала найдем вектора AB и AC, а затем вычислим их скалярное произведение.

Вектор AB можно получить вычислив разность координат точек B и A: AB = B - A = (4, -5, -3) - (10, 2, -1) = (-6, -7, -2)

Вектор AC можно получить вычислив разность координат точек C и A: AC = C - A = (8, 3, 5) - (10, 2, -1) = (-2, 1, 6)

Теперь мы можем найти скалярное произведение вектора AB и AC, используя следующую формулу: AB · AC = |AB| * |AC| * cos(θ)

где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC, а θ - угол между ребром AD и гранью ABC.

Для вычисления длин векторов AB и AC, мы можем использовать формулу длины вектора: |AB| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

где x, y и z - координаты вектора AB.

Вычислим длину вектора AB: |AB| = sqrt((-6)^2 + (-7)^2 + (-2)^2) = sqrt(49 + 36 + 4) = sqrt(89)

Вычислим длину вектора AC: |AC| = sqrt((-2)^2 + 1^2 + 6^2) = sqrt(4 + 1 + 36) = sqrt(41)

Теперь мы можем выразить угол θ через скалярное произведение и длины векторов: AB · AC = |AB| * |AC| * cos(θ)

Мы знаем, что AB · AC = (-6, -7, -2) · (-2, 1, 6) = (-6) * (-2) + (-7) * 1 + (-2) * 6 = 12 - 7 - 12 = -7

Таким образом, у нас есть уравнение: -7 = sqrt(89) * sqrt(41) * cos(θ)

Из этого уравнения мы можем выразить cos(θ): cos(θ) = -7 / (sqrt(89) * sqrt(41))

Теперь мы можем вычислить угол θ, используя обратную функцию косинуса (арккосинус): θ = arccos(-7 / (sqrt(89) * sqrt(41)))

Вычислив эту формулу, мы получим значение угла θ.

Пожалуйста, используйте калькулятор или функции математической библиотеки вашего языка программирования для вычисления этого значения.