Question

Найдите:x+2y ,если (x-4)^2+(x-y^2)^2=0

Answer 1

Ответ:

$x+2y \in \{0;8\}$

Пошаговое объяснение:

Очевидно, что, т.к. а² ≥ 0 для любых действительных значений а, => сумма квадратов может быть равна нулю тогда и только тогда, когда все слагаемые равны нулю, а соответственно, нулю равны и все возводимые в квадрат выражения:

$a^{2} + b^{2} = 0 \: \: < = > \: \begin{cases}a^{2} = 0 \\ b^{2} = 0 \end{cases} \: < = > \: \begin{cases}a = 0 \\ b = 0 \end{cases}$

В нашем случае получаем следующее:

$(x-4)^2+(x-y^2)^2=0 \\ \\ \begin{cases} x - 4 = 0 \\ x - {y}^{2} = 0 \end{cases} < = > \begin{cases} x = 4 \\ {y}^{2} = x \end{cases} < = > \begin{cases} x = 4 \\ {y} = \pm \sqrt{x} \end{cases} \\ < = > \begin{cases} x - 4 = 0 \\ \left[ \begin{array}{l}y= \sqrt{4}\\ y = - \sqrt{4} \end{array} \right. \end{cases} < = > \left[ \begin{array}{l}\begin{cases} x= 4 \\ y= 2 \end{cases}\\ \begin{cases} x= 4 \\ y= - 2 \end{cases} \end{array} \right.$

Получилось 2 пары (х, у):

(4; 2) и (4; -2)

Соответственно и выражение

х + 2у

может принимать 2 значения:

$\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} x= 4 \\ y= 2 \end{cases} \: \: \: \: \: = > x{ +} 2y = 4 {+ }2{ \cdot}2 = 8\\ \begin{cases} x= 4 \\ y= - 2 \end{cases}\: \: = > x{ +} 2y = 4 {+ }2{ \cdot}({ - 2}) = 0 \end{array} \right.$

Поэтому получаем 2 ответа:

Ответ

$x+2y \in \{0;8\}$

Answer 2

Дано: (x-4)^2 + (x-y^2)^2 = 0

Раскроем квадраты: x^2 - 8x + 16 + x^2 - 2xy^2 + y^4 = 0

Сгруппируем похожие слагаемые: 2x^2 - 8x - 2xy^2 + y^4 + 16 = 0

Вынесем общий множитель из первых двух слагаемых: 2(x^2 - 4x) - 2xy^2 + y^4 + 16 = 0

Завершим квадрат в скобках, добавив и вычтя 4: 2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2xy^2 + y^4 + 16 = 0 2((x-2)^2 - 4) - 2xy^2 + y^4 + 16 = 0 2(x-2)^2 - 8 - 2xy^2 + y^4 + 16 = 0 2(x-2)^2 - 2xy^2 + y^4 + 8 = 0

Вынесем общий множитель из последних двух слагаемых: 2(x-2)^2 - 2xy^2 + y^4 + 8 = 0 2(x-2