Question

Теорія Ймовірності 50 балів У першій урні 4 білі та 2 чорні кульки, в другій – 2 білі та 16 чорних, а в третій – 6 білих та 4 чорні. Із кожної урни навмання беруть по одній кульці, а потім із цих трьох навмання взяли одну кульку. Знайти ймовірність того, що вона біла.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Ймовірність витягти білу кульку з урн є р1=4/6=2/3; р2=2/18=1/9; р3=6/10=2/5

Є 4 набори з 3 куль, які ми витягли випадковим чином з трьох урн: серед витянутих кульок немає жодної, є одна, дві чи три кульки.

Р(0)=(1‐р1)×(1-р2)×(1-р3)=2/3×8/9×2/5=32/135

Р(1)=р1×(1-р2)×(1-р3)+(1‐р1)×р2×(1-р3)+(1‐р1)×(1-р2)×р3=68/135

Р(2)=р1×р2×(1-р3)+(1‐р1)×р2×р3+р1×(1-р2)×р3=32/135

Р(3)=р1×р2×р3=3/135

Нехай подія А полягає в тому, що витягнута кулька з трьох є білою

Р(А)=Р(0)×0+Р(1)×1/3+Р(2)×2/3+Р(3)×1=68/135×1/3+32/135×2/3+32/135=0,3481481481

Answer 2

Давайте позначимо події:

- A1: вибрана кулька з першої урни - A2: вибрана кулька з другої урни - A3: вибрана кулька з третьої урни - B: вибрана біла кулька

Тепер ми можемо використовувати формулу для розрахунку ймовірностей за умовною ймовірністю:

\[ P(B) = P(A1) \cdot P(B|A1) + P(A2) \cdot P(B|A2) + P(A3) \cdot P(B|A3) \]

Де:

- \( P(A1) \), \( P(A2) \), \( P(A3) \) - ймовірності вибрати кульку з першої, другої та третьої урні відповідно. - \( P(B|A1) \), \( P(B|A2) \), \( P(B|A3) \) - умовні ймовірності вибору білої кульки при умові, що вибрана кулька з першої, другої та третьої урні відповідно.

Дано:

\[ P(A1) = \frac{1}{3} \] (третина шансів вибрати будь-яку з трьох урн) \[ P(A2) = \frac{1}{3} \] (третина шансів вибрати будь-яку з трьох урн) \[ P(A3) = \frac{1}{3} \] (третина шансів вибрати будь-яку з трьох урн)

\[ P(B|A1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] (чотири білі кульки з шести загальних) \[ P(B|A2) = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \] (дві білі кульки з вісімнадцяти загальних) \[ P(B|A3) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] (шість білих кульок з десяти загальних)

Тепер підставимо ці значення в формулу:

\[ P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \]

Розрахунок дає:

\[ P(B) = \frac{2}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{5} \]

Обчислімо чисельник і знаменник:

\[ P(B) = \frac{120 + 4 + 27}{270} = \frac{151}{270} \]

Отже, ймовірність того, що вибрана кулька є білою, дорівнює \( \frac{151}{270} \). Це можна спростити до більш простого вигляду, наприклад, поділити чисельник і знаменник на 3:

\[ P(B) = \frac{151}{270} = \frac{50}{90} = \frac{25}{45} \]

Отже, ймовірність того, що вибрана кулька є білою, дорівнює \( \frac{25}{45} \) або приблизно 0.5556 (округлено до чотирьох знаків після коми).