Question

Срочно напишите пожалуйста!!!!Даю 100 баллов Определение погрешности при численном интегрировании+один пример

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Замена подынтегральной функции интерполяционным полиномом приводит к погрешности вычисления его значения R=|I1 – I|, где

Очевидно, что вычислить эту погрешность можно только, если известно точное значение интеграла

Answer 2

Погрешность при численном интегрировании представляет собой разницу между точным значением определенного интеграла и результатом, полученным при использовании численных методов для его приближенного вычисления. В математике и физике часто бывает сложно или даже невозможно вычислить определенный интеграл аналитически, поэтому приходится использовать численные методы, такие как метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона и другие.

Рассмотрим, например, определенный интеграл:

\[ \int_{0}^{1} e^{-x^2} \,dx \]

Этот интеграл не имеет элементарного аналитического решения в виде обычных функций. Поэтому мы можем использовать численные методы для его приближенного вычисления.

Допустим, мы применяем метод трапеций для аппроксимации этого интеграла. Погрешность этого метода можно оценить с использованием формулы:

\[ E_t = -\frac{b-a}{12}h^2 f''(\xi) \]

где \(a\) и \(b\) - пределы интегрирования, \(h\) - шаг интегрирования, \(f''(\xi)\) - вторая производная функции \(f(x) = e^{-x^2}\), а \(\xi\) лежит между \(a\) и \(b\).

Погрешность численного интегрирования будет зависеть от выбора шага \(h\). Маленький шаг приведет к более точному результату, но потребует больше вычислительных ресурсов. Важно находить баланс между точностью и эффективностью вычислений.

Таким образом, погрешность численного интегрирования зависит от выбора метода, шага интегрирования и свойств функции, которую мы интегрируем. Оценка погрешности помогает понять, насколько можно доверять результатам численного метода.