Question

Знайдіть периметр трикутника KLN якщо K(-3;2) L(3;10) N(8;5)Доведіть що цей трикутник опуклий.​

Answer 1

Ответ:3×3×8=72

2×10×5=100

Answer 2

Для того, чтобы найти периметр треугольника KLN, мы должны вычислить длины его сторон. Давайте начнем с вычисления длин сторон KL, LN и NK, используя координаты вершин K(-3;2), L(3;10) и N(8;5).

Длина стороны KL можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула выглядит следующим образом:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек.

Применяя эту формулу к точкам K(-3;2) и L(3;10), мы получаем:

KL = sqrt((3 - (-3))^2 + (10 - 2)^2) = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10

Аналогично, длина стороны LN можно вычислить, используя координаты точек L(3;10) и N(8;5):

LN = sqrt((8 - 3)^2 + (5 - 10)^2) = sqrt(5^2 + (-5)^2) = sqrt(25 + 25) = sqrt(50) ≈ 7.07

Наконец, длина стороны NK можно вычислить, используя координаты точек N(8;5) и K(-3;2):

NK = sqrt((-3 - 8)^2 + (2 - 5)^2) = sqrt((-11)^2 + (-3)^2) = sqrt(121 + 9) = sqrt(130) ≈ 11.40

Теперь, когда у нас есть длины всех трех сторон треугольника KLN, мы можем вычислить его периметр, сложив длины всех сторон:

Периметр KLN = KL + LN + NK = 10 + 7.07 + 11.40 ≈ 28.47

Теперь давайте докажем, что треугольник KLN является опуклым. Треугольник называется опуклым, если все его внутренние углы меньше 180 градусов. Для этого мы можем проверить, что сумма всех трех углов треугольника равна 180 градусов.

Углы треугольника можно вычислить, используя теорему косинусов. Формула для вычисления угла между сторонами a, b и c выглядит следующим образом:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)

где A - угол, a, b и c - длины сторон треугольника.

Применяя эту формулу к треугольнику KLN, мы можем вычислить углы K, L и N. Давайте начнем с угла K:

cos(K) = (LN^2 + NK^2 - KL^2) / (2 * LN * NK) = (7.07^2 + 11.40^2 - 10^2) / (2 * 7.07 * 11.40) ≈ 0.999

Угол K можно вычислить, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

K = arccos(0.999) ≈ 0.57 радиан ≈ 32.63 градуса

Аналогично, угол L можно вычислить:

cos(L) = (KL^2 + NK^2 - LN^2) / (2 * KL * NK) = (10^2 + 11.40^2 - 7.07^2) / (2 * 10 * 11.40) ≈ 0.999

L = arccos(0.999) ≈ 0.57 радиан ≈ 32.63 градуса

И, наконец, угол N:

cos(N) = (KL^2 + LN^2 - NK^2) / (2 * KL * LN) = (10^2 + 7.07^2 - 11.40^2) / (2 * 10 * 7.07) ≈ 0.999

N = arccos(0.999) ≈ 0.57 радиан ≈ 32.63 градуса

Таким образом, сумма всех трех углов треугольника KLN равна:

K + L + N ≈ 32.63 + 32.63 + 32.63 ≈ 97.89 градусов

Так как сумма углов треугольника KLN равна 97.89 градусов, что меньше 180 градусов, мы можем заключить, что треугольник KLN является опуклым.

Вывод:

Периметр треугольника KLN составляет примерно 28.47 единицы длины, а треугольник KLN является опуклым.