Question

На плоскости отмечено 72 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезком так, что из каждой отмеченной точки выходит не более 3 отрезков. Какое наибольшее количество различных замкнутых 4-звенных ломаных может получиться? Вершинами ломаной могут быть только отмеченные точки, а звеньями — только проведённые отрезки. Неважно, где у ломаной начало и как она ориентирована: например, если для некоторых 4 отмеченных точек A,B,C,D проведены отрезки AB,BC,CD,DA, то ABCD, BCDA, CDAB, DABC, ADCB, BADC, CBAD, DCBA — это одна и та же ломаная.

Answer 1

Ответ:

27

Пошаговое объяснение:

72*3=216 - количество отрезков, если считать относительно каждой вершины.

216:2=108 - делим пополам, потому что каждый отрезок посчитан дважды (для одной вершины и для другой).  

Каждая 4-звенная ломаная содержит 4 отрезка.

108:4=27 - количество 4-звенных ломаных

Answer 2

Для решения данной задачи давайте рассмотрим несколько шагов.

1. Максимальное количество рёбер для каждой вершины: Поскольку из каждой точки выходит не более 3 отрезков, каждая точка может быть соединена с другими 3 точками. Таким образом, у каждой точки может быть максимум 3 связанных с ней отрезка.

2. Максимальное количество замкнутых 4-звенных ломаных: Рассмотрим, как можно соединить точки, чтобы образовать замкнутую ломаную. Поскольку каждая точка соединена с тремя другими, мы можем представить, что начали соединение с какой-то точки и продолжаем до тех пор, пока не вернёмся в начальную точку.

3. Формула для расчета максимального числа ломаных: Посклеедний шаг — расчет максимального числа ломаных. Если у нас есть N точек, и у каждой точки 3 отрезка, то общее количество отрезков равно 3N/2 (поскольку каждый отрезок соединяет две точки, и каждая точка участвует в 3 отрезках).

Однако, каждая ломаная состоит из 4 звеньев, и чтобы не посчитать повторно одну и ту же ломаную, мы делим общее количество отрезков на 4.

Формула будет следующей: \[ \frac{3N}{2 \cdot 4} = \frac{3N}{8} \]

4. Подстановка числа точек: Если у нас есть 72 точки, то максимальное количество замкнутых 4-звенных ломаных будет \[ \frac{3 \cdot 72}{8} = 27 \]

Таким образом, наибольшее количество различных замкнутых 4-звенных ломаных, которое можно получить, равно 27.