Question

Отрезок АЕ перпендикулярен к плоскости равностороннего треугольника АВС. Стороны треугольника 8 см, АЕ=4см. Найдите расстояние от концов отрезка АЕ дотпрямой ВС

Answer 1

Ответ:

ΔАВС - равносторонний  , АВ=АС=ВС=6 см , АЕ=3 см , АЕ⊥АВС .

Найти расстояние от Е до ВС.

Проведём  АН⊥ВС  ⇒  точка Н - середина ВС, т.к. АН ещё и медиана в равностороннем треугольнике  ⇒  ВН=НС=3 см

Рассм. ΔАВН:  ∠АНВ=90° ,

по теореме Пифагора АН=√(АС²-ВН²)=√(6²-3²)=√27=3√3 (см).

Соединим точки Е и Н.  ЕН - наклонная , АН - её проекция на пл. АВС , АН⊥ВС  ⇒  по теореме о трёх перпендикулярах ЕН⊥ВС  ⇒  ЕН - это расстояние от точки Е до прямой ВС.

Рассм ΔАЕН: ∠ЕАН=90°, т.к. АЕ⊥АН ( АН∈АВС и АЕ⊥АВС) ,

по теор. Пифагора ЕН=√(АЕ²+АН²)=√(3²+27)=√36=6 (см).

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством перпендикуляра к плоскости треугольника. Если отрезок \( AE \) перпендикулярен к плоскости треугольника \( ABC \), то он также перпендикулярен ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Так как треугольник \( ABC \) равносторонний, его высота (перпендикуляр проведенный из вершины к противоположной стороне) также является медианой и биссектрисой. Поскольку биссектриса делит сторону треугольника пополам, отрезок \( AE \) делит сторону \( BC \) на две равные части.

Пусть \( M \) - середина стороны \( BC \), тогда \( AM = MC = \frac{1}{2} BC \).

Из условия задачи известно, что сторона треугольника \( BC \) равна 8 см, а отрезок \( AE \) равен 4 см. Таким образом, \( MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \) см \( = 4 \) см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \( AMC \), где известны катеты \( AM \) и \( MC \). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы \( AC \):

\[ AC^2 = AM^2 + MC^2 \]

\[ AC^2 = 4^2 + 4^2 \]

\[ AC^2 = 16 + 16 \]

\[ AC^2 = 32 \]

\[ AC = \sqrt{32} \]

\[ AC = 4\sqrt{2} \]

Таким образом, расстояние от концов отрезка \( AE \) до прямой \( BC \) равно \( AC = 4\sqrt{2} \) см.