Question

Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 41 до 59, включительно.

Answer 1

41 · 42 · 43 · 44 · 45 · 46 · 47 · 48 · 49 · 50 · 51 · 52 · 53 · 54 · 55 · 56 · 57 ×

× 58 · 59

1-й способ.

Нуль может получиться только при умножении 2 на 5.

Посмотрим, сколько пятерок имеется в разложении данных чисел:

45 = 5 · 9; 50 = 2 · 25 = 2 · 5²; 55 = 11 · 5 - всего их 4.

Двоек же много 42 = 2 · 21, 44 = 11 · 4 = 11 · 2², 46 = 23 · 2 и т.д., т.е. их больше четырех.

Значит, произведения указанных чисел оканчивается четырьмя нулями.

Ответ: четырьмя.

2-й способ.

1 нуль уже есть - число 50 оканчивается на 0;

т.к. 50 = 5 · 10, то остается множитель 5, который при умножении на 2 даст нам 2-й нуль (двоек много - см. 1-й способ);

3-й нуль получим при умножении 45 и 42, например;

4-й нуль получим при умножении 55 и 52, например.

Ответ: четырьмя.

Answer 2

Чтобы определить, сколько нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от 41 до 59, нам нужно посчитать количество пар чисел (2, 5), так как это единственные простые числа, которые могут дать в результате произведения ноль на конце.

В данном случае нам нужно найти количество чисел, которые делятся на 2 и на 5. Это можно сделать, разбив интервал от 41 до 59 на две группы: числа, которые делятся только на 2, и числа, которые делятся на 2 и на 5.

Числа, которые делятся только на 2, это: 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58. Всего 9 чисел.

Числа, которые делятся на 2 и на 5, это: 50, 52, 54, 56, 58. Всего 5 чисел.

Теперь мы можем увидеть, что число 50 повторяется в обоих группах, так как оно делится и на 2, и на 5. Поэтому мы должны учесть его только один раз.

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 41 до 59 оканчивается на 9 нулей.