Question

Найти частное решение дифференцированного уравнения y'=e^(-x) удовлетворяющее условию: y(0)=2

Answer 1

Если у’ = е^(-х), то
у(х) = -е^(-х) + С
у(0) = -1 + С = 2, С = 3, значит у = -е^(-х) + 3

Answer 2

Я могу помочь вам решить дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием. Ваше уравнение имеет вид:

$$y'=e^{-x}, y(0)=2$$

Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Для этого нужно перенести все, что содержит y, в левую часть, а все, что содержит x, в правую часть:

$$\frac{dy}{dx}=e^{-x} \Rightarrow \frac{dy}{y}=e^{-x}dx$$

Затем нужно проинтегрировать обе части уравнения:

$$\int \frac{dy}{y}=\int e^{-x}dx \Rightarrow \ln|y|=-e^{-x}+C$$

Где C - произвольная постоянная интегрирования. Чтобы найти ее значение, нужно использовать начальное условие y(0)=2. Подставим x=0 и y=2 в уравнение:

$$\ln|2|=-e^{-0}+C \Rightarrow C=\ln 2+1$$

Теперь мы можем выразить y через x, сняв логарифм с обеих частей:

$$\ln|y|=-e^{-x}+\ln 2+1 \Rightarrow |y|=e^{-e^{-x}+\ln 2+1} \Rightarrow y=\pm e^{-e^{-x}+\ln 2+1}$$

Однако, поскольку y(0)=2 - положительное число, то мы должны выбрать знак плюс перед экспонентой. Таким образом, частное решение дифференциального уравнения имеет вид:

$$y=e^{-e^{-x}+\ln 2+1}$$

Вы можете проверить правильность решения, подставив его в исходное уравнение и убедившись, что оно выполняется. Вы также можете посмотреть другие примеры решения дифференциальных уравнений на сайтах [1](https://math.semestr.ru/math/example-differential.php), [2](https://mathdf.com/dif/ru/) и [3](http://www.mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.html). Надеюсь, что это было полезно для вас.