Question

Помогите пожалуйста вычислить производные функции​y=(5x²+3)^6. ​

Answer 1

Ответ:

$y = {(5 {x}^{2} + 3) }^{6}$

$y' = 6 {(5 {x}^{2} + 3) }^{5} \times ( 5{x}^{2} + 3)' = 6 {(5 {x}^{2} + 3) }^{5} \times 10x = 60x {(5 {x}^{2} + 3) }^{5}$

Answer 2

Конечно, вычислим производную функции \( y = (5x^2 + 3)^6 \) с помощью цепного правила (chain rule) и степенного правила дифференцирования.

Для начала, представим \( y \) как композицию двух функций: внешняя функция \( u \), равная \( u = w^6 \), где \( w = 5x^2 + 3 \), и внутренняя функция \( w = 5x^2 + 3 \), зависящая от переменной \( x \).

1. Найдем производную внешней функции по \( w \), применяя степенное правило: \[ \frac{du}{dw} = 6w^{6-1} = 6w^5 \]

2. Затем найдем производную внутренней функции \( w \) по \( x \): \[ \frac{dw}{dx} = \frac{d(5x^2 + 3)}{dx} = 10x \]

Теперь применим цепное правило для нахождения производной \( y \) по \( x \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dw} \cdot \frac{dw}{dx} = 6w^5 \cdot 10x = 60x(5x^2 + 3)^5 \]

Таким образом, производная функции \( y = (5x^2 + 3)^6 \) равна \( \frac{dy}{dx} = 60x(5x^2 + 3)^5 \).