Question

Задано функцію z=7x2+4y2+6x+3y−7. Знайти вектор-градієнт в точці (0;0).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

    z = 7x² + 4y² + 6x + 3y − 7 ;    в точці М( 0 ; 0 ) .

 Знайдемо частинні похідні функції z  в точці М( 0 ; 0 ) :

    dz/dx = ( 7x² + 4y² + 6x + 3y − 7 )' = 14x + 6 ;

    dz/dy = ( 7x² + 4y² + 6x + 3y − 7 )' = 8y + 3 . Підставимо координати

 точки  М( 0 ; 0 ) :

   dz/dx│(0;0) = 14*0 + 6 = 6 ;      dz/dy│(0;0) = 8*0 + 3 = 3 .

  Запишемо напрям вектор - градієнта поля в точці М( 0 ; 0 ) :

     grad z = dz/dx * i + dz/dy * j = 6*i + 3*j = ( 6 ; 3 ) .

  Обчислимо модуль градієнта в даній точці :

       | grad z | = √( 6² + 3² ) = √45 = 3√5 .  

Answer 2

Задача

Вы хотите найти вектор-градиент функции z = 7x^2 + 4y^2 + 6x + 3y − 7 в точке (0, 0).

Вектор-градиент

Вектор-градиент является вектором, который указывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке. Он вычисляется с помощью частных производных функции по каждой переменной.

Решение

Для нахождения вектор-градиента в точке (0, 0), необходимо вычислить частные производные функции по переменным x и y, и подставить значения x = 0 и y = 0.

Дана функция: z = 7x^2 + 4y^2 + 6x + 3y − 7

Частная производная функции по переменной x (при фиксированном y): ∂z/∂x = 14x + 6

Частная производная функции по переменной y (при фиксированном x): ∂z/∂y = 8y + 3

Теперь, подставим x = 0 и y = 0 в частные производные:

∂z/∂x = 14(0) + 6 = 6 ∂z/∂y = 8(0) + 3 = 3

Таким образом, вектор-градиент функции z = 7x^2 + 4y^2 + 6x + 3y − 7 в точке (0, 0) равен (6, 3).

Ответ

Вектор-градиент функции z = 7x^2 + 4y^2 + 6x + 3y − 7 в точке (0, 0) равен (6, 3).