Question

Знайти критичні точки функції: y=2x3−6x

Answer 1

Ответ:

x= -1 - max

x = 1 - min

Пошаговое объяснение:

Находим первую производную функции:

y' = 6·x2-6

Приравниваем ее к нулю:

6·x2-6 = 0

x1 = -1

x2 = 1

Вычисляем значения функции

f(-1) = 4

f(1) = -4

Ответ:

fmin = -4, fmax = 4

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y'' = 12·x

Вычисляем:

y''(-1) = -12<0 - значит точка x = -1 точка максимума функции.

y''(1) = 12>0 - значит точка x = 1 точка минимума функции.

Answer 2

Критические точки функции находятся там, где её производная равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции \(y = 2x^3 - 6x\):

\[y' = 6x^2 - 6\]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[6x^2 - 6 = 0\]

Решая это уравнение, получаем:

\[x^2 - 1 = 0\]

\[(x - 1)(x + 1) = 0\]

Отсюда получаем две критические точки: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -1\).

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив эти x обратно в исходную функцию:

Для \(x = 1\): \[y = 2(1)^3 - 6(1) = 2 - 6 = -4\]

Для \(x = -1\): \[y = 2(-1)^3 - 6(-1) = -2 + 6 = 4\]

Таким образом, у функции \(y = 2x^3 - 6x\) две критические точки: (1, -4) и (-1, 4).