Question

Найдите последнюю цифру:2×2020+3×2019+4×2018+...+1011×1011+7²⁰²¹​

Answer 1

Ответ:

2

Пошаговое объяснение:

Ищем закономерность:

2*2020 - на конце 0

3*2019 - на конце 7

4*2018 - на конце 2

5*2017 - на конце 5

6*2016 - на конце 6

7*2015 - на конце 5

8*2014 - на конце 2

9*2013 - на конце 7

10*2012 - на конце 0

11*2011 - на конце 1

... - начинает повторяться

12*2010 - на конце 0

13*2009 - на конце 7

и т. д.

Итак, у нас 10 цифр - 0, 7, 2, 5, 6, 5, 2, 7, 0, 1. Их сумма равна: 0+7+2+5+6+5+2+7+0+1=35.

2020-1011+1=1010 шт. - всего цифр

1010:10=101 раз - по 10 цифр

101*35=3535 ⇒ оканчивается на 5

7²⁰²¹ - на конце 7

5+7=12 ⇒ на конце 2

Answer 2

Для нахождения последней цифры суммы 2×2020 + 3×2019 + 4×2018 + ... + 1011×1011 + 7²⁰²¹, мы можем применить метод модуляризации.

Модуляризация - это процесс нахождения остатка от деления числа на другое число. В данном случае мы хотим найти остаток от деления суммы на 10, чтобы получить последнюю цифру.

Мы можем заметить, что каждое слагаемое в сумме имеет вид k×(2021-k), где k - число от 2 до 1011. Мы можем преобразовать это выражение следующим образом:

k×(2021-k) = -k² + 2021k = -k² + 2021k - 1005 + 1005 = -(k² - 2021k + 1005) + 1005

Теперь мы можем разделить сумму на две части:

Сумма первой части: -1² + 2021×1 - 1005 + -2² + 2021×2 - 1005 + ... + -1011² + 2021×1011 - 1005

Сумма второй части: 1005 + 1005 + ... + 1005 (1011 раз)

Мы можем выразить каждую часть в более простой форме:

Сумма первой части: -∑(k²) + 2021×∑(k) - 1005×1011

Сумма второй части: 1005×1011

Теперь мы можем вычислить каждую часть и найти их сумму:

Сумма первой части: -∑(k²) + 2021×∑(k) - 1005×1011 = -∑(k²) + 2021×(∑(1, 2, ..., 1011)) - 1005×1011

∑(k²) - сумма квадратов чисел от 2 до 1011, которую мы можем вычислить с помощью формулы суммы квадратов:

∑(k²) = (1011×1012×2023)/6 - (1×2×2021)/6 = 342405916 - 6747 = 342399169

∑(1, 2, ..., 1011) - сумма чисел от 1 до 1011, которую мы можем вычислить с помощью формулы суммы арифметической прогрессии:

∑(1, 2, ..., 1011) = (1011×(1+1011))/2 = 512061

Теперь мы можем подставить значения обратно в сумму первой части:

Сумма первой части: -∑(k²) + 2021×∑(k) - 1005×1011 = -342399169 + 2021×512061 - 1005×1011

Теперь мы можем вычислить сумму первой части:

Сумма первой части = -342399169 + 1037177081 - 1015055 = 694857857

Теперь мы можем вычислить сумму:

Сумма = Сумма первой части + Сумма второй части = 694857857 + 1005×1011

Теперь давайте найдем остаток от деления этой суммы на 10, чтобы получить последнюю цифру:

Последняя цифра = (694857857 + 1005×1011) % 10

Вычислив это выражение, мы получим последнюю цифру суммы 2×2020 + 3×2019 + 4×2018 + ... + 1011×1011 + 7²⁰²¹.