Question

Даны векторы a {1; 0; -1}, b{-2; 1; -3} и с {2; 4; 2} Какие из них являются перпендикулярными?

Answer 1

Ответ:

Чтобы вектора были перпендикулярными должно быть выполнено условие

$a_{x}b_{x}+ a_{y}b_{y}+ a_{z}b_{z}= 0$

ab:

$1 \times ( - 2) + 0 \times 1 + ( - 1) \times ( - 3) = - 2 + 0 + 3 = 1$

Векторы a и b не перпендикулярны

ac:

$1 \times 2 + 0 \times 4 + ( - 1) \times 2 = 2 + 0 - 2 = 0$

Векторы a и c перпендикулярны.

bc:

$- 2 \times 2 + 1 \times 4 + ( - 3) \times 2 = - 4 + 4 - 6 = - 6$

Векторы b и c не перпендикулярны.

Перпендикулярны только a и c.

Answer 2

Два вектора называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]

Где \( a_1, a_2, a_3 \) - компоненты вектора \( \mathbf{a} \), а \( b_1, b_2, b_3 \) - компоненты вектора \( \mathbf{b} \).

Давайте вычислим скалярные произведения для данных векторов:

1. Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \cdot -2) + (0 \cdot 1) + (-1 \cdot -3) = -2 + 0 + 3 = 1 \]

2. Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{c} \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 4) + (-1 \cdot 2) = 2 + 0 - 2 = 0 \]

3. Скалярное произведение векторов \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \): \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = (-2 \cdot 2) + (1 \cdot 4) + (-3 \cdot 2) = -4 + 4 - 6 = -6 \]

Таким образом, вектора \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{c} \) являются перпендикулярными, так как их скалярное произведение равно нулю.