Question

СРОЧНО!!! Найти вторые частные производные указанных функций. Убедиться в том,что z"xy=z"yx2.4. z=cos(xy²)2.9. z=arcctg(x-3y)​

Answer 1

Ответ:

ТЕОРЕМА ШВАРЦА: высшие смешанные производные отличаются лишь порядком дифференцирования.

Пошаговое объяснение:

Найдёём оператор Лапласа для каждого выражения:

1)

delta_xy z1 = -y^2sinxy^2 - 2xysinxy^2

delta_yx z1 = -2xysinxy^2 - y^2sinxy^2

Утверждение доказано.

Answer 2

Для нахождения вторых частных производных данных функций, нам необходимо сначала найти первые частные производные, а затем продифференцировать их по оставшимся переменным. Давайте посчитаем каждый шаг для обеих функций:

1. Функция z = cos(xy²):

Первые частные производные: z'x = -sin(xy²) * y² z'y = -2 * sin(xy²) * x * y

Дифференцируем первые частные производные по оставшимся переменным: z"xy = (-sin(xy²) * y²)'x = -2 * sin(xy²) * y z"yx = (-2 * sin(xy²) * x * y)'y = -2 * sin(xy²) * x

Таким образом, z"xy = -2 * sin(xy²) * y и z"yx = -2 * sin(xy²) * x.

2. Функция z = arcctg(x-3y):

Первые частные производные: z'x = -1 / (1 + (x-3y)²) z'y = 6 / (1 + (x-3y)²)

Дифференцируем первые частные производные по оставшимся переменным: z"xy = (-1 / (1 + (x-3y)²))'y = -6 * (x-3y) / (1 + (x-3y)²)² z"yx = (6 / (1 + (x-3y)²))'x = -6 * (x-3y) / (1 + (x-3y)²)²

Таким образом, z"xy = -6 * (x-3y) / (1 + (x-3y)²)² и z"yx = -6 * (x-3y) / (1 + (x-3y)²)².

Теперь мы можем сравнить две вторые частные производные:

z"xy = -2 * sin(xy²) * y z"yx = -2 * sin(xy²) * x

Обратите внимание, что в данном случае z"xy не равно z"yx, поскольку у них есть дополнительные множители y и x соответственно. Таким образом, мы не можем подтвердить равенство z"xy = z"yx для данных функций.