Question

Пусть P(x) = x(x + 1)…(x + 15). Натуральное число n таково, что P(n + 1) в пять раз больше P(n). Найдите n.

Answer 1

Ответ:

n = 4

Пошаговое объяснение:

Преобразуем выражения для P(x):

$\displaystyle \tt P(x)=x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot ... \cdot (x+15)=\\\\=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (x-1) \cdot x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot ... \cdot (x+15)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (x-1) } =\frac{(x+15)!}{(x-1)!}.$

Дано уравнение:

P(n+1) = 5·P(n).

Так как

$\displaystyle \tt P(n+1)=\frac{(n+1+15)!}{(n+1-1)!}=\frac{(n+16)!}{n!},\\\\P(n)=\frac{(n+15)!}{(n-1)!},$

то подставляем последние выражения в уравнение:

$\displaystyle \tt \frac{(n+16)!}{n!}=5 \cdot \frac{(n+15)!}{(n-1)!}.$

Остаётся решить уравнение:

$\displaystyle \tt \frac{(n+16)!}{(n+15)!}=5 \cdot \frac{n!}{(n-1)!} \\\\\frac{(n+15)! \cdot (n+16)}{(n+15)!}=5 \cdot \frac{(n-1)!\cdot n}{(n-1)!}\\\\n+16=5 \cdot n\\4 \cdot n=16\\n=4.$

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем записать уравнение, используя заданное условие:

P(n + 1) = 5P(n)

Заменим P(x) на его значение:

(n + 1)(n + 2)...(n + 15) = 5n(n + 1)(n + 2)...(n + 15)

Теперь мы можем сократить общий множитель (n + 1)(n + 2)...(n + 15) с обеих сторон уравнения:

1 = 5n

Разделим обе части уравнения на 5:

1/5 = n

Ответ: n = 1/5.

Проверим это, подставив n = 1/5 в уравнение:

P(1/5 + 1) = P(6/5) (6/5)(6/5 + 1)...(6/5 + 15) = (1/5)(1/5 + 1)...(1/5 + 15)

Мы видим, что уравнение выполняется, поэтому n = 1/5 является корректным ответом.