Question

1) Даны числа: 16 891 875; 6 084; 945 000; 1 059 894; 6 486 480; 144 375; 6864. Используя признаки делимости, выясните делятся или нет данные числа на: а) 3, б) 4, в) 9, г) 11, д) 13, е) 6, ж) 8, з) 7, и) 15, к) 25, л) 125. 2) Замените звездочки одинаковыми цифрами так, чтобы а) число 8*392* делилось на 13 б) число 344*** делилось на 11 в) число 2**1 делилось на 7 3) Найдите неизвестные цифры числа, если известно, что число делится на 13: а) 354*6* б) *4567* в) 1252** 4) Найдите неизвестные цифры числа, если известно, что число делится на 11: а) 7**816 б) 3**345 в) 80*87* 5) Найдите неизвестные цифры числа, если известно, что число делится на 7: а) 12*19* б) 49*5*4 в) 88*94* 6) Докажите, что числа 644 и 495 — взаимно простые. 7) Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 4, 15, 22, 77.

Answer 1

Из-за ограничений в символах,ответ на последние два вопроса в комментариях,сокращал до минимума ответ,все равно мест занимают ответы слишком много,поэтому оставил как есть,огромный ответ-не экономичный,ну хотя-бы понятный:

Число делится на 3,если сумма его цифр делится на 3:

а)

16 891 875 ( 1+6+8+9+1+8+7+5=45 -- 45/3=15)

6084(6+8+4=18 -- 18/3=6)

945 000( 9+4+5=18 -- 18/3=6)

1 059 894( 1+5+9+8+9+4=36--- 36/3=12)

6 486 480( 6+4+8+6+4+8=36- 36/3=12)

144 375(1+4+4+3+7+5= 24-- 24/3=8)

6864(6+8+6+4=24 -- 24/3=8)

б)

Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

16 891 875( 75 не делится на 4) -

6 084( 84/4= 21)

945 000( цифры- нули)

1 059 894 (94 не делится на 4)-

6 486 480( 80/4=20)

144 375( 75 не делится на 4) -

6864(64/4=16)

в)

Число делится на 9,если сумма его цифр делится на 9:

16 891 875( 1+6+8+9+1+8+7+5=45-- 45/9=5 )

6 084((6+8+4=18-- 18/9=2)

945 000 ( 9+4+5= 18-- 18/9=2)

1 059 894 ( 1+5+9+8+9+4=36-- 36/9=4)

6 486 480 ( 6+4+8+6+4+8=36- 36/9=4)

144 375 ( 1+4+4+3+7+5= 24-- 24/9, не делится)-

6864 ( 6+8+6+4= 24--24/9,не делится) -

г)

Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11:

16.891.875( 6+9+8+5=28(сумма цифр на четном месте; 1+8+1+7=17 сумма цифр на нечетном месте) т..к разница в 11,число делится на 11

6 084( 4-сумма цифр на четном месте;

6+8=14 -сумма цифр на нечетном месте)разница в 10, не делится на 11 число

945 000( 4- сумма цифр на четном месте;

9+5=14 сумма цифр на нечетном месте,

разница в 10, не делится)

1 059 894( 9+9=18 сумма цифр на четном месте;

1+5+8+4=18,сумма цифр на нечетном месте)

сумма равна --делится)

6 486 480( 4+6+8=18 сумма цифр на четном месте; 6+8+4=18 сумма цифр на нечетном месте, сумма равна- делится)

144 375( 4+3+5=12 сумма цифр на четном месте;

1+4+7=12 сумма цифр на нечетном месте,сумма равна-делится)

6864( 8+4=12 сумма цифр на четном месте;

6+6=12 сумма цифр на нечетном месте, сумма равна- делится)

д)

Число делится на 13, если разность между числом, состоящим из трёх последних цифр данного числа, и числом, образованным из оставшихся цифр данного числа (то есть без последних трёх цифр), делится на 13.

16 891 875( 875- 16891= -16.016/13= -1231)делится

6 084( 84-6=78- 78/13=6- делится)

945 000( 0-945=-945/13= не делится)

1 059 894( 894-1.059=-165/13 не делится)

6 486 480( 480- 6486= -6.006/13= 462 - делится)

144 375( 375- 144=231/13= не делится)

6864( 864-6=858/13=66- делится)

е)

Формулировка делимости на 6 включает в себя признак делимости на 2 и на 3 : если число оканчивается на цифры 0, 2, 4 , 6 , 8 , а сумма цифр делится без остатка на 3 , значит, такое число делится на 6,при отсутствии хотя бы одного условия заданное число на 6 не поделится.

16 891 875(1+6+8+9+1+8+7+5=45 45/3=15,но оканчивается 5) не делится

6 084( 6+8+4=18/3=6; и оканчивается 6- делится)

945 000( 9+4+5=18- 18/3=6; и оканчивается 0, делится на 6)

1 059 894( 1+5+9+8+9+4=36; 36/3=12, оканчивается 4,делится на 6)

6 486 480( 6+4+8+6+4+8=36; 36/3=12 и оканчивается 0- делится)

144 375( условие отсутствует,не делится)

6864 ( 6+8+6+4=24; 24/3=8 и оканчивается 4,делится)

ж)

Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8:

16 891 875(875/8= не делится)

6 084( 84/8= не делится)

945 000( последние цифры 0)

1 059 894( 894/8= не делится

6 486 480( 480/8=60,делится)

144 375(( 375/8= не делится)

6864 ( 864/ 8= 108,делится)

з)Чтобы определить,делится ли число на 7,нужно последнюю цифру числа умножить на 2 и вычесть из «числа, оставшегося без последней цифры». Если получившееся число делится на 7, то и само число делится на 7.

16 891 875- 1.689.187-5×2=1.689.177/7=241.311- делится

6 084- 608-4×2=600/7= не делится

945 000= 94.500-0×2=94.500/7=13.500 делится

1 059 894= 105.989-4×2=105.981/7 не делится

6 486 480= 648.648-0×2=648.648/7=92.664 делится

144 375- 14.437-5×2=14.427/7=2061

6864= 686-4×2=678/7= не делится

И)

Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5;

Из предыдущего ответа,под буквой А,мы знаем,что ниже- перечисленные числа все делятся на 3,а на 5 будут делится,если число заканчивается либо 5 либо 0:

16 891 875(делится на 5,т..к последняя цифра 5,и на 3 делится- делится на 15)

6 084( не делится на 5,последняя цифра 4,значит и на 15 тоже не делится)

945 000( последняя цифра 0,делится)

1 059 894( последняя цифра 4,не делится)

6 486 480(последняя цифра 0,делится)

144 375(делится-5)

6864(не делится-

2)Замените звездочки одинаковыми цифрами

так, чтобы

а) число 803.920 делилось на 13

б) число 344.333 делилось на 11

в) число 2.331 делилось на 7

3) Найдите неизвестные цифры числа, если известно, что число делится на 13:

а) 354.068; 354.861;

б) 345.670; 945.672

в) 125.203;125.281

4) Найдите неизвестные цифры числа, если известно, что число делится на 11:

а) 706.816; 750.816

б) 301.345; 356.345

в) 805.871 ; 808.874

5) Найдите неизвестные цифры числа, если известно, что число делится на 7:

а) 127.190; 127.197

б) 497.504 ; 497.574

в) 884.947; 887.943

Answer 2

1) Признаки делимости

Для решения данной задачи, необходимо применить различные признаки делимости для определения того, делятся ли данные числа на заданные делители.

*а) Признак делимости на 3*

Для определения делимости на 3, нужно посчитать сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.

*б) Признак делимости на 4*

Если последние две цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4.

*в) Признак делимости на 9*

Аналогично признаку делимости на 3, сумма цифр числа должна быть кратна 9.

*г) Признак делимости на 11*

Альтернирующая сумма цифр числа (разница между суммой цифр на четных и нечетных позициях) должна быть кратной 11.

*д) Признак делимости на 13*

Правило деления на 13 можно использовать для проверки делимости на 13.

*е) Признак делимости на 6*

Число должно быть как кратно 2, так и кратно 3.

*ж) Признак делимости на 8*

Если последние три цифры числа образуют число, делящееся на 8, то и само число делится на 8.

*з) Признак делимости на 7*

Сложнее всего найти общий признак делимости на 7, однако можно использовать правило деления на 7.

*и) Признак делимости на 15, 25, 125*

Число должно быть кратно 5 и 3 для 15, кратно 5 и 5 для 25, и кратно 5 и 5 и 5 для 125.

2) Замена цифр

Для этого пункта необходимо провести ряд экспериментов, заменяя звездочки цифрами и проверяя делимость чисел на заданные делители.

3), 4), 5) Неизвестные цифры числа

Для определения неизвестных цифр числа, важно использовать правила делимости на 13, 11 и 7 соответственно.

6) Взаимно простые числа

Для доказательства взаимной простоты чисел 644 и 495 необходимо показать, что их наибольший общий делитель равен 1.

7) Пары взаимно простых чисел

Для составления всех пар взаимно простых чисел из чисел 4, 15, 22, 77, необходимо проверить их взаимную простоту попарно.

Давайте начнем с первого пункта и последовательно решим каждую задачу.