Question

Решите уравнение lg^2)x+4lg(10x)=1

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = 0.001 \\ x_{2} = 0.1$

ОДЗ: х>0

${lg}^{2} x + 4 \times lg(10 \times x) = 1 \\ {lg}^{2} x + 4 \times (lg10 + lgx) = 1 \\ {lg}^{2} x + 4 \times (1 + lgx) = 1 \\ {lg}^{2} x + 4lgx + 3 = 0$

- показательное квадратное уравнение, замена переменной:

$lgx = t \\ {t}^{2} + 4t + 3 = 0 \\ t_{1} = - 3 \\ t_{2} = - 1$

обратная замена:

$t_{1} = - 3 \\ lgx = - 3 \\ log_{10}x = - 3 \\ x = {10}^{ - 3} \\ x = \frac{1}{1000} \\ x = 0.001$

$t_{2} = - 1 \\lgx = - 1 \\ log_{10}x = - 1 \\ x = {10}^{ - 1} \\ x = \frac{1}{10} \\ x = 0.1$

Answer 2

Чтобы решить уравнение lg^2(x) + 4lg(10x) = 1, давайте внесём изменения в обозначения:

Пусть y = lg(x), тогда уравнение примет вид:

y^2 + 4lg(10) * y - 1 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью квадратного корня:

y = [-4lg(10) ± √((4lg(10))^2 - 4 * 1)] / 2.

Выполним вычисления:

y = [-4lg(10) ± √(16lg(10)^2 - 4)] / 2.

y = [-4lg(10) ± √(16 * (lg(10))^2 - 4)] / 2.

y = [-2lg(10) ± √(4(lg(10))^2 - 1)].

Теперь, зная y, найдём x:

lg(x) = y.

x = 10^y.

Подставим значения и получим два решения для x:

x₁ = 10^(-2lg(10) + √(4(lg(10))^2 - 1)).

x₂ = 10^(-2lg(10) - √(4(lg(10))^2 - 1)).

Пожалуйста, выполните окончательные вычисления для получения численных значений x₁ и x₂.