Question

Розв'яжіть нерівність 2^2х - 2^х < 0

Answer 1

Ответ:

x<0

Пошаговое объяснение:

$2^{2x} -2^{x}$

$2^{x} (2^{x} -1)$

$2^{x} >0$ поэтому   $2^{x} -1$

$2^{x}$

$2^{x}$

x<0

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності спробуємо знайти значення х, при яких нерівність буде виконуватися.

Почнемо зі створення заміни. Позначимо 2^x як t. Тоді наша нерівність може бути записана як:

t^2 - t < 0

Тепер розв'яжемо цю квадратну нерівність. Спочатку знайдемо її корені:

t(t - 1) < 0

Коренями цієї квадратної нерівності є t = 0 і t = 1. За допомогою методу інтервалів можна знайти, при яких значеннях t нерівність виконується. Для цього візьмемо три випадки:

1) t < 0: у цьому випадку обидва множники t і t - 1 від'ємні. Тому нерівність не виконується.

2) 0 < t < 1: у цьому випадку перший множник t додатній, а другий множник t - 1 від'ємний. Тому нерівність виконується.

3) t > 1: у цьому випадку обидва множники t і t - 1 додатні. Тому нерівність не виконується.

Отже, нерівність виконується лише при 0 < t < 1.

Тепер повернемося до початкових змінних. Ми позначили 2^x як t. Тому діапазон, в якому нерівність виконується, становить 0 < 2^x < 1.

Щоб знайти значення х, розв'яжемо нерівність за допомогою логарифмів:

0 < 2^x < 1

ln(0) < ln(2^x) < ln(1)

-∞ < x ln(2) < 0

Ділимо нерівність на ln(2):

-∞ < x < 0 / ln(2)

Отримуємо:

-∞ < x < 0

Таким чином, розв'язком даної нерівності є будь-яке значення х, яке знаходиться в інтервалі (-∞, 0).