Question

Знайти площу фігури обмеженої у=-х2+4, у=4-х​

Answer 1

Пошаговое объяснение:Вычисление площади фигуры сводится к вычислению определённого интеграла:
S= intlimits^b_a {(f(x)-g(x))} , dx
Чертим линии и определяем по графику пределы интегрирования, а также расположение линий. По графику видим, что функция y=4-x лежит выше чем y=x²+2. Пределы в которых находится фигура -2 и 1.

S=∫¹₋₂(4-x-x²-2)dx=∫¹₋₂(2-x-x²)dx=2x-x²/2-x³/3 |¹₋₂ = 2-1/2-1/3-(2*(-2)-(-2)²/2-(-2)³/3) = 2-1/2-1/3+4+2-8/3=8-1/2-3=4 1/2=4,5 ед²

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = -х^2 + 4 и у = 4 - х, нужно найти точки пересечения этих кривых и вычислить интеграл от разности этих функций в пределах этих точек.

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых:

-х^2 + 4 = 4 - х

Перенесем все члены в одну сторону:

-х^2 + х = 0

Факторизуем это уравнение:

х(х - 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: х = 0 и х = 1.

Теперь вычислим площадь фигуры с помощью интеграла:

S = ∫ (4 - х) - (-х^2 + 4) dx

S = ∫ (4 - х + х^2 - 4) dx

S = ∫ (х^2 - х) dx

S = (1/3)х^3 - (1/2)х^2 + C

Вычислим определенный интеграл для пределов от х = 0 до х = 1:

S = [(1/3)х^3 - (1/2)х^2]0^1

S = [(1/3) - (1/2)] - [0 - 0]

S = (1/6) - 0

S = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми у = -х^2 + 4 и у = 4 - х, равна 1/6.