Question

Дифференцируема ли функция y = |x-2| в точке х=2? Подробное решение, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Нет, не дифференцируема.

Доказательства бывают разные. Мне нравится такое:

Мы знаем, что |x| = sqrt(x^2).

Если ф-ии равны, то и их производные равны. Найдем производную правой части. Путем нехитрых манипуляций получаем, что производная равна x/|x|, где х != 0. Аналогично можно доказать и для случая |x - 2| = sqrt((x - 2)^2)

Answer 2

Функция y = |x-2| состоит из двух частей: y = x-2, если x-2 >= 0 и y = -(x-2), если x-2 < 0.

Чтобы определить, дифференцируема ли функция y = |x-2| в точке x=2, мы можем воспользоваться определением дифференцируемости. Функция дифференцируема в точке x=a, если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Для нашей функции y = |x-2| в точке x=2, мы должны вычислить предел (lim) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

При x > 2: y = x-2, а значит, функция дифференцируема в этой области и ее производная равна 1. При x < 2: y = -(x-2), а значит, функция дифференцируема в этой области и ее производная равна -1.

Однако в точке x=2, функция имеет уголный разрыв, так как производные справа и слева не совпадают. Поэтому функция y = |x-2| не дифференцируема в точке x=2.