Question

Решить Уравнение 4cos²x = 1 - 4sinx​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x = (-1)^{n+1}*\frac{\pi }{6}+\pi n ;$ n ∈ Z

Пошаговое объяснение:

4cos²(x) = 1-4sin(x)​

Исходя из основного тригонометрического тождества sin²(x)+cos²(x) = 1 выразим cos²(x) : cos²(x) = 1-sin²(x)

4(1-sin²(x)) = 1-4sin(x)​

4-4sin²(x)-1+4sin(x) = 0

-4sin²(x)+4sin(x)+3 = 0

Пусть sin(x) = t, -1 ≤ t ≤ 1, тогда

-4t²+4t+3 = 0|:(-1)

4t²-4t-3 = 0

D = (-4)²-4*4*(-3) = 16+48 = 64 = 8²

t₁₂ = (4±8)/(2*4)

t₁ = 3/2 >1 - не подходит по условию ; t₂ = - 1/2

Вернёмся к замене

Если t = - 1/2, то sin(x) = - 1/2

$\displaystyle x = (-1)^n*arcsin(-\frac{1}{2})+\pi n ;$

$\displaystyle x = (-1)^{n}*(-\frac{\pi }{6})+\pi n ;$

$\displaystyle x = (-1)^{n+1}*\frac{\pi }{6}+\pi n ;$ n ∈ Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические методы. Позвольте мне разбить решение на несколько шагов.

Шаг 1: Приведение уравнения к одной тригонометрической функции Используя тригонометрическое тождество cos²x = 1 - sin²x, мы можем переписать уравнение следующим образом:

4(1 - sin²x) = 1 - 4sinx

Раскроем скобки:

4 - 4sin²x = 1 - 4sinx

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только sinx. Давайте продолжим.

Шаг 2: Приведение уравнения к квадратному виду Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

4sin²x - 4sinx + 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx. Мы можем применить формулу дискриминанта для решения этого уравнения.

Шаг 3: Применение формулы дискриминанта В квадратном уравнении вида ax² + bx + c = 0, формула дискриминанта выглядит следующим образом:

D = b² - 4ac

Применяя эту формулу к нашему уравнению, мы получаем:

D = (-4)² - 4 * 4 * 3 = 16 - 48 = -32

Поскольку дискриминант отрицателен, у нас нет действительных решений для уравнения.

Таким образом, уравнение 4cos²x = 1 - 4sinx не имеет действительных решений.