Question

Помогите пожалуйста, найти промежутки монотонности функции,y= f(x),f(x) =(x^2-3x)/(x-4)

Answer 1

Найдем промежутки монотонности функции f (x) = (x^2 - 3 * x)/(x - 4).
Определим, где функция возрастает, а где убывает функция.
Приравняем функцию к 0 и найдем корни уравнения.
(x^2 - 3 * x)/(x - 4) = 0;
{ x^2 - 3 * x = 0;
x - 4 ≠ 0;
{ x * (x - 3) = 0;
x - 4 ≠ 0;
{ x = 0;
x - 3 = 0;
x - 4 ≠ 0;
{ x = 0;
x = 3;
x ≠ 4;
Получаем:
- + - + ;
_ 0 _ 3 _ 4 _ ;
Отсюда видим, что функция убывает на промежутке (-∞; 0) и (3; 4).
Функция возрастает на промежутке(0; 3) и (4; +∞).

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки монотонности функции y = f(x), где f(x) = (x^2-3x)/(x-4), мы должны проанализировать производную функции и найти точки, где производная положительна или отрицательна.

Анализ производной функции

1. Найдем производную функции f(x). Для этого применим правило дифференцирования частного и раскроем скобки:

f'(x) = [(2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x)] / (x - 4)^2

2. Упростим выражение в числителе:

f'(x) = (2x^2 - 8x - 3x + 12 - x^2 + 3x) / (x - 4)^2 = (x^2 - 8x + 12) / (x - 4)^2

3. Раскроем скобку в знаменателе:

f'(x) = (x^2 - 8x + 12) / (x^2 - 8x + 16)

4. После сокращения, получим:

f'(x) = (x - 2) / (x - 4)

Нахождение промежутков монотонности

Теперь мы можем определить промежутки монотонности функции, исходя из знаков производной f'(x).

1. Рассмотрим знак производной f'(x) при x < 2. Подставим x = 1 в выражение для f'(x):

f'(1) = (1 - 2) / (1 - 4) = 1 / (-3) = -1/3

Значит, на интервале (-∞, 2) функция f(x) убывает.

2. Рассмотрим знак производной f'(x) при 2 < x < 4. Подставим x = 3 в выражение для f'(x):

f'(3) = (3 - 2) / (3 - 4) = 1 / (-1) = -1

Значит, на интервале (2, 4) функция f(x) также убывает.

3. Рассмотрим знак производной f'(x) при x > 4. Подставим x = 5 в выражение для f'(x):

f'(5) = (5 - 2) / (5 - 4) = 3 / 1 = 3

Значит, на интервале (4, ∞) функция f(x) возрастает.

Вывод

Таким образом, мы получили следующую информацию о промежутках монотонности функции y = f(x), где f(x) = (x^2-3x)/(x-4):

- Функция f(x) убывает на интервалах (-∞, 2) и (2, 4). - Функция f(x) возрастает на интервале (4, ∞).

Обратите внимание, что функция f(x) не определена при x = 4, так как знаменатель равен нулю. Поэтому, мы не можем включить значение x = 4 в промежутки монотонности функции.