Question

Число 7 возвели в седьмую степень.Полученное число снова возвели в седьмую степень и так далее.Возведение в степень повторили 2022 раза.Определите,какой цифрой заканчивается полученное число.(С объяснением)

Answer 1

Ответ: $7$

Пошаговое объяснение:

Заметим, что степени цифр $3$ и $7$ имеют одинаковый период повторений оканчивающихся цифр, причем третья цифра в периоде каждой из данных цифр равна другой цифре из данной пары и длины периодов повторений для каждой из цифр равны $4$. Покажем это (для удобства будем применять обозначение: $|a$ - оканчивается на ту же самую цифру, что и число  $a$, если $0 < =a < =9$, то данное число оканчивается на цифру $a$).

Рассмотрим периоды повторений последних цифр степеней числа $3$.

$3^1 |3\\3^2|3*3|9\\3^3|9*3|7\\3^4|7*3|1\\3^5|1*3|3$

Период повторений для последних цифр степеней числа $3$:

$3,9,7,1$, длина периода равна $4$, а третья цифра в периоде равна $7$.

Рассмотрим периоды повторений последних цифр степеней числа $7$.

$7^1|7\\7^2|7*7|9\\7^3|9*7|3\\7^4|3*7|1\\7^5|1*7|7$

Период повторений для последних цифр степеней числа $7$:

$7,9,3,1$, длина периода равна $4$, а третья цифра в периоде равна $3$.

Как видим, все сказанное в начале абсолютно верно.

Также стоит заметить, что остаток от деления числа $7$ на $4$ (длину периода) равен $3$, поэтому:

$7^7|3\\3^7|7$

То есть после каждой операции возведения в седьмую степень идет такое чередование.

Поскольку число $2022$ является четным, то последняя цифра определяется операцией $3^7|7$, то есть после $2022$-го возведения в седьмую степень полученное число будет оканчиваться на цифру $7$.

Answer 2

Для начала найдем значение числа 7 в седьмой степени. Для этого умножим 7 на себя 6 раз (так как степень равна 7):

7^7 = 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 823543

Теперь найдем значение полученного числа в седьмой степени:

823543^7 = 823543 * 823543 * 823543 * 823543 * 823543 * 823543 * 823543 = очень большое число

Повторяя этот процесс 2022 раза, мы получим очень огромное число. Однако, чтобы найти последнюю цифру этого числа, нам не нужно знать все цифры, достаточно знать последнюю цифру числа из предыдущего шага.

Посмотрим на последние цифры при возведении числа 7 в различные степени: 7^1 = 7 7^2 = 49 7^3 = 343 7^4 = 2401 7^5 = 16807 7^6 = 117649 7^7 = 823543

Мы видим, что последняя цифра при возведении числа 7 в степень меняется по циклу: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3. Таким образом, мы можем утверждать, что значение числа 7 в любой степени, кратной 4, заканчивается на 1.

Таким образом, значение числа 7, возведенного в 2022-ю степень, заканчивается на 1.