Question

Спростіть вираз: 1) cos (a + b) + cos (a - b); 2) sin (30° + a)- сos (60° + a); 3) √2 sin (a -45°)-sin a + cos a; 4) 2 сos (60°-а)- √3 sin a -cos a.

Answer 1

1. cos2а2. sin-2а3. sin2а4. cos-2а

Answer 2

Давайте розглянемо кожен з цих виразів по черзі і спростимо їх:

1) cos(a + b) + cos(a - b): За формулою косинуса суми, ми знаємо, що cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y). Використовуючи цю формулу, ми можемо спростити перший доданок: cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Аналогічно, застосовуючи формулу косинуса різниці, ми можемо спростити другий доданок: cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Тепер, підставляючи ці значення, ми отримаємо спрощений вираз: cos(a + b) + cos(a - b) = (cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)) + (cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)) = 2 * cos(a) * cos(b)

Таким чином, спрощений вираз буде 2 * cos(a) * cos(b).

2) sin(30° + a) - cos(60° + a): За формулою синуса суми, ми знаємо, що sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y). Використовуючи цю формулу, ми можемо спростити перший доданок: sin(30° + a) = sin(30°) * cos(a) + cos(30°) * sin(a)

Аналогічно, застосовуючи формулу синуса різниці, ми можемо спростити другий доданок: cos(60° + a) = cos(60°) * cos(a) - sin(60°) * sin(a)

Тепер, підставляючи ці значення, ми отримаємо спрощений вираз: sin(30° + a) - cos(60° + a) = (sin(30°) * cos(a) + cos(30°) * sin(a)) - (cos(60°) * cos(a) - sin(60°) * sin(a)) = sin(30°) * cos(a) + cos(30°) * sin(a) - cos(60°) * cos(a) + sin(60°) * sin(a)

Таким чином, спрощений вираз буде sin(30°) * cos(a) + cos(30°) * sin(a) - cos(60°) * cos(a) + sin(60°) * sin(a).

3) √2 * sin(a - 45°) - sin(a) + cos(a): Ми можемо спростити цей вираз, застосовуючи формули синусу та косинусу різниці:

sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y) cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)

Застосовуючи ці формули, ми можемо отримати спрощений вираз: √2 * sin(a - 45°) - sin(a) + cos(a) = √2 * (sin(a) * cos(45°) - cos(a) * sin(45°)) - sin(a) + cos(a) = √2 * (sin(a) * √2/2 - cos(a) * √2/2) - sin(a) + cos(a) = sin(a) - cos(a) - sin(a) + cos(a) = 0

Таким чином, спрощений вираз буде 0.

4) 2 * cos(60° - a) - √3 * sin(a) - cos(a): Застосовуючи формули для косинуса та синуса різниці, ми можемо спростити цей вираз:

cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y) sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)

Застосовуючи ці формули, ми можемо отримати спрощений вираз: 2 * cos(60° - a) - √3 * sin(a) - cos(a) = 2 * (cos(60°) * cos(a) + sin(60°) * sin(a)) - √3 * sin(a) - cos(a) = 2 * (1/2 * cos(a) + √3/2 * sin(a)) - √3 * sin(a) - cos(a) = cos(a) + √3 * sin(a) - √3 * sin(a) - cos(a) = 0

Таким чином, спрощений вираз буде 0.

Отже, отримали, що спрощені вирази для всіх чотирьох випадків дорівнюють 0.