Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x³-3x² [1;3]

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение 0 в точке 3
Наименьшее значение -4 в точке 2

Пошаговое объяснение:

Найдем производную

$y'(x) = (x^3-3x^2)'=3x^2-6x$

Приравняем производную к 0 и решим уравнение

$\displaystyle\\3x^2-6x=0\\3x(x-2)=0\\\left [ {{x=0} \atop {x=2}} \right.$

Расставим знаки производной на отрезке $[1;3]$. Там где знак +, функция возрастает, а там где -, убывает.
(см. первый рисунок)

Получаем что 2 - точка минимума (в этой точке наименьшее значение функции)

Наибольшее значение достигается или в точке 1, или в точке 3 (крайние точки). Посчитаем

$f(2) = 2^3-3\cdot2^2=8-12=-4\\\\f(1)=1^3-3\cdot1^2=1-3=-2\\f(3)=3^3-3\cdot3^2=27-27=0$

Наибольшее значение 0 в точке 3
Наименьшее значение -4 в точке 2

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = x³ - 3x² на интервале [1, 3], мы можем взять производную функции и найти ее корни в этом интервале. Эти корни будут соответствовать точкам экстремума функции.

Производная функции y = x³ - 3x² равна: y' = 3x² - 6x.

Чтобы найти корни производной, приравняем ее к нулю: 3x² - 6x = 0.

Факторизуем это уравнение: 3x(x - 2) = 0.

Таким образом, у нас есть два корня: x = 0 и x = 2.

Теперь мы можем найти значения функции y = x³ - 3x² в точках x = 1, x = 2 и x = 3.

Для x = 1: y = 1³ - 3(1)² = 1 - 3 = -2.

Для x = 2: y = 2³ - 3(2)² = 8 - 12 = -4.

Для x = 3: y = 3³ - 3(3)² = 27 - 27 = 0.

Таким образом, наименьшее значение функции y = x³ - 3x² на интервале [1, 3] равно -4, а наибольшее значение равно 0.