Question

Найдите первообразную функции f(x) =2x-4x^3, график которой пересекает ось ординат в точке 1;8

Answer 1

Ответ:

F(x)=x²-x⁴+8

Пошаговое объяснение:

F(x)=2x²/2-4x⁴/4+c

F(x)=x²-x⁴+c

8=1-1+c

c=8

F(x)=x²-x⁴+8

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 2x - 4x^3, мы будем интегрировать каждый член по отдельности.

Интеграл ∫2x dx даст нам x^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Интеграл ∫(-4x^3) dx можно найти, применяя правило степенной функции для интеграла. Мы добавим 1 к показателю степени и поделим коэффициент перед переменной на новый показатель степени. Таким образом, получим: (-4/(3+1))x^(3+1) = -x^4/4 + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Итак, первообразная функции f(x) будет равна: F(x) = x^2 - x^4/4 + C,

где C = C1 + C2 - сумма постоянных.

Мы знаем, что график функции пересекает ось ординат в точке (1, 8), поэтому мы можем использовать эту информацию, чтобы найти значение постоянной C.

Подставляя x = 1 и F(x) = 8 в уравнение, получаем: 8 = 1^2 - (1^4)/4 + C, 8 = 1 - 1/4 + C, 8 = 3/4 + C, C = 8 - 3/4, C = 29/4.

Таким образом, первообразная функции f(x) с условием пересечения графика с осью ординат в точке (1, 8) будет: F(x) = x^2 - x^4/4 + 29/4.