Question

Знайти кут між векторами A(2, -5, 4) B (-1, 2, 7)

Answer 1

Ответ:

$\vec{a}\, (2;-5;4)\ ,\ \ \vec{b}\, (-1;2;7)$  

Формула:   $cos\varphi =\dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$  

Найдём скалярное произведение как сумму произведений одноимённых координат.

$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot (-1)-5\cdot 2+4\cdot 7=16$  

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат .

$\vec{a}=\sqrt{2^2+5^2+4^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5\ \ ,\ \ \ \ \vec{b}=\sqrt{1^2+2^2+7^2}=\sqrt{54}=3\sqrt6$    

$cos\varphi =\dfrac{16}{3\sqrt5\cdot 3\sqrt6}=\dfrac{16}{9\sqrt{30}}=\dfrac{8\sqrt{30}}{135}\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\varphi =arccos\dfrac{8\sqrt{30}}{135}\approx 1,24\ rad\approx 71,06^\circ$      

Answer 2

Для знаходження кута між векторами A і B використовується формула:

cos(θ) = (A · B) / (||A|| * ||B||),

де A · B - скалярний добуток векторів A і B, ||A|| - норма (довжина) вектора A, ||B|| - норма (довжина) вектора B, θ - кут між векторами A і B.

Спочатку виконаємо необхідні обчислення:

A · B = 2 * (-1) + (-5) * 2 + 4 * 7 = -2 - 10 + 28 = 16, ||A|| = sqrt(2^2 + (-5)^2 + 4^2) = sqrt(4 + 25 + 16) = sqrt(45) = 3 * sqrt(5), ||B|| = sqrt((-1)^2 + 2^2 + 7^2) = sqrt(1 + 4 + 49) = sqrt(54) = 3 * sqrt(6).

Тепер можемо знайти кут між векторами A і B:

cos(θ) = (A · B) / (||A|| * ||B||) = 16 / (3 * sqrt(5) * 3 * sqrt(6)) = 16 / (9 * sqrt(30)).

Щоб знайти сам кут θ, можна використати обернену функцію косинуса (арккосинус):

θ = arccos(16 / (9 * sqrt(30))).

Підставимо значення у вираз:

θ ≈ arccos(16 / (9 * sqrt(30))).

Застосуємо калькулятор або математичний софт для отримання наближеного значення кута.