Question

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку P и параллельной плоскости а. P(1;-3;1 ), а: x+2y-z+4=0

Answer 1

Решение.

  $\bf P(1;-3;1)\in \beta \ \ ,\ \ \ \alpha :x+2y-z+4=0\ \ ,\ \ \ \beta \parallel \alpha$  .  

Нормальный вектор плоскости  $\bf \alpha$  равен   $\bf \vec{n}=(1;2;-1)$  .

Так как плоскости параллельны, то нормальный вектор плоскости  $\bf \alpha$  может служить нормальным вектором искомой плоскости  $\beta$  .

$\boldsymbol{\bf \beta :\ \ \ 1\cdot (x-1)+2\cdot (y+3)-1\cdot (z-1)=0}\\\\{}\qquad \ \ \ \boldsymbol{x+2y-z+6=0}$

Answer 2

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точку P и параллельной плоскости а, мы можем использовать нормальный вектор плоскости а и координаты точки P.

Уравнение плоскости имеет вид:

n · (r - r₀) = 0,

где n - нормальный вектор плоскости, r₀ - координаты точки P, r - произвольная точка на плоскости.

Нормальный вектор плоскости а уже известен и равен [1, 2, -1]. Значит, у нас есть:

[1, 2, -1] · (r - [1, -3, 1]) = 0.

Упрощая уравнение, получим:

1(r₁ - 1) + 2(r₂ + 3) - 1(r₃ - 1) = 0,

где r₁, r₂, r₃ - координаты произвольной точки на плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку P(1, -3, 1) и параллельной плоскости а (x + 2y - z + 4 = 0), имеет вид:

r₁ + 2r₂ - r₃ + 5 = 0.