Question

Точки А, В і пряма CD не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АС і BD не перетинаються.

Answer 1

Ответ:

Никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, так как иначе через эту прямую и четвертую точку можно было бы провести плоскость.

Через любые три точки можно провести единственную плоскость.

Проведем плоскость α через точки А, В и С.

Тогда прямая АВ лежит в плоскости α (если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости),

а прямая CD пересекает эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ. Значит, прямые АВ и CD - скрещивающиеся (по признаку), и значит они не пересекаются.

Answer 2

Щоб довести, що прямі AC і BD не перетинаються, можна використати доведення за суперечкою. Припустимо, що прямі AC і BD перетинаються в точці O.

Так як точки A, B і пряма CD не лежать в одній площині, то пряма CD перетне площину, утворену точками A, B і O, у точці D. Оскільки точка D лежить на прямій BD, то вона повинна знаходитись і на прямій AC. Однак, це суперечить умові, що точка D є перетином прямих AC і BD.

Отже, наше припущення про перетин прямих AC і BD в точці O є недійсним. Таким чином, прямі AC і BD не перетинаються.