Question

Решите ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. а) y''-3y'-4y=0; б) y''-14y'+49y=0

Answer 1

Ответ:

 ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами .

$a)\ \ y''-3y'-4y=0$  

Характеристическое уравнение:  

$k^2-3k-4=0\ \ ,\ \ k_1=-1\ ,\ k_2=4\ \ \ (teorema\ Vieta)$  

Общее решение:  $\bf y=C_1\, e^{-x}+C_2\, e^{4x}$  .

$b)\ \ y''-14y'+49y=0\\\\k^2-14k+49=0\ \ \to \ \ \ (k-7)^2=0\ \ ,\ \ k=7$  

Общее решение:  $\bf y=e^{7x}\, (C_1+C_2x)$  .

Answer 2

а) Для решения данного дифференциального уравнения, представим его характеристическое уравнение:

r^2 - 3r - 4 = 0,

где r - неизвестная переменная. Решим это квадратное уравнение:

(r - 4)(r + 1) = 0.

Из этого получаем два корня: r1 = 4 и r2 = -1.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(t) = c1 * exp(4t) + c2 * exp(-t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

б) Для решения данного дифференциального уравнения, представим его характеристическое уравнение:

r^2 - 14r + 49 = 0,

где r - неизвестная переменная. Решим это квадратное уравнение:

(r - 7)^2 = 0.

Из этого получаем единственный корень r = 7 с кратностью 2.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(t) = (c1 + c2 * t) * exp(7t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.