Question

_d²y dx²+4y=0 Решительно уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Answer 1

Это уравнение записать можно как y'' + 4y = 0.
Пусть $y=\exp\{ kx\}$, то получим следующее характеристическое уравнение.
   k² + 4k = 0
   k*(k+4)=0
k₁ = 0
k₂ = -4

Окончательно: $y=C_1\bigg\exp\{-4x\}+C_2$ - общее решение.

Answer 2

Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, которое вы предоставили, является линейным дифференциальным уравнением. Оно имеет вид:

d²y/dx² + 4y = 0

Для решения этого уравнения можно использовать метод характеристического уравнения. Предположим, что решение имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение и найдем характеристическое уравнение:

r²e^(rx) + 4e^(rx) = 0

e^(rx) (r² + 4) = 0

Так как e^(rx) не равно нулю для любого значения x, то характеристическое уравнение будет иметь вид:

r² + 4 = 0

Решим это уравнение для r:

r² = -4

r = ±√(-4) = ±2i

Таким образом, характеристическое уравнение имеет два комплексных корня r₁ = 2i и r₂ = -2i.

Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

y = C₁e^(2ix) + C₂e^(-2ix)

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

В данном случае, так как у нас комплексные корни, мы можем использовать формулу Эйлера для переписывания решения:

e^(ix) = cos(x) + isin(x)

Таким образом, общее решение можно переписать в виде:

y = C₁(cos(2x) + isin(2x)) + C₂(cos(-2x) + isin(-2x))

y = C₁(cos(2x) + isin(2x)) + C₂(cos(2x) - isin(2x))

y = (C₁ + C₂)cos(2x) + (C₁ - C₂)isin(2x)

где C₁ + C₂ и C₁ - C₂ - произвольные постоянные.

Таким образом, решение уравнения d²y/dx² + 4y = 0 с постоянными коэффициентами имеет вид:

y = (C₁ + C₂)cos(2x) + (C₁ - C₂)isin(2x)

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.