Question

Cos²x+3sin x cos x-4sin²x=0розв'яжіть рівняння​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x = \frac{ \pi}{4} + \pi n,n\in Z \\ \displaystyle x = - arctg \frac{1}{4} + \pi k,k\in Z$

Пошаговое объяснение:

$cos {}^{2} x + 3 sinx \cdot cosx - 4 sin {}^{2} x = 0$

Это однородное уравнение второй степени , разделим обе части уравнения на cos²x :

$\displaystyle \frac{cos {}^{2}x }{cos {}^{2} x} + \frac{3sinx \cdot cosx}{cos {}^{2}x } - \frac{4sin {}^{2} x}{cos {}^{2}x } = 0 \\ 1 + 3tgx - 4tg {}^{2} x = 0 \\ 4tg {}^{2} x - 3tgx - 1 = 0$

Заменим tgx=t , тогда получим квадратное уравнение :

$4t {}^{2} - 3t - 1 = 0$

Решим данное уравнение через дискриминант :

$D = ( - 3) {}^{2} - 4 \cdot4 \cdot( - 1) = 9 + 16 = 25 \\ t_{1,2}=\frac{-(-3)\pm \sqrt{25} }{2\cdot4}=\frac{3\pm5}{8}\\\Rightarrow t_1=1~~~~~~~~t_2=-\frac{1}{4}$

Вернемся к замене .

Первый корень :

$tgx = 1$

Согласно частному случаю тангенса :

$\displaystyle x = \frac{ \pi}{4} + \pi n,n\in Z$

Второй корень :

$\displaystyle tgx = - \frac{1}{4} \\ x = arctg \bigg( - \frac{1}{4} \bigg) + \pi k ,k\in Z$

Так как arctg нечетная функция , то минус выходит вперед :

$\displaystyle x = - arctg \frac{1}{4} + \pi k,k\in Z$

Answer 2

Давайте розв'яжемо рівняння за допомогою тригонометричних тотожностей. Основною тригонометричною тотожністю, яку ми будемо використовувати, є:

sin²x + cos²x = 1.

Застосуємо цю тотожність до даного рівняння:

cos²x + 3sin x cos x - 4sin²x = 0.

Перепишемо його в іншій формі:

4sin²x - 3sin x cos x + cos²x = 0.

Тепер ми можемо замінити квадрати синуса і косинуса, використовуючи основну тригонометричну тотожність:

(2sin x - cos x)(2sin x + cos x) = 0.

Тепер ми маємо два фактори, які дорівнюють нулю:

2sin x - cos x = 0 або 2sin x + cos x = 0.

1. Розв'язуємо перший фактор: 2sin x - cos x = 0.

   Додамо cos x до обох боків рівняння: 2sin x = cos x.

   Поділимо обидві частини на cos x: 2tan x = 1.

   Роз'яснимо tan x: tan x = 1/2.

   Знаходимо значення x в проміжку 0° ≤ x < 360°, при яких tan x = 1/2. Відповідними кутами є x = 30° і x = 150°.

2. Розв'язуємо другий фактор: 2sin x + cos x = 0.

   Віднімемо cos x від обох боків рівняння: 2sin x = -cos x.

   Поділимо обидві частини на cos x: 2tan x = -1.

   Роз'яснимо tan x: tan x = -1/2.

   Знаходимо значення x в проміжку 0° ≤ x < 360°, при яких tan x = -1/2. Відповідними кутами є x = 210° і x = 330°.

Отже, рівняння має чотири розв'язки: x = 30°, x = 150°, x = 210° і x = 330°.