Question

Число не кратне 4. Які остачі при діленні на 4 може давати квадрат цього числа

Answer 1

Ответ:

1 та 0, перевірив на окремих випадках, як показати в загальному вигляді -не знаю

Answer 2

Якщо число не кратне 4, то його можна представити у вигляді 4k + m, де k - ціле число, а m - одне з чисел 1, 2 або 3. Тоді квадрат цього числа буде:

(4k + m)² = 16k² + 8mk + m²

При діленні на 4 перший доданок 16k² дає остачу 0. Другий доданок 8mk дасть остачу 0, якщо m ділиться на 2, тобто m дорівнює 2 або 3. Якщо m дорівнює 1, то другий доданок дасть остачу 0 при діленні на 4 лише тоді, коли k ділиться на 2. Третій доданок m² дасть остачу 1 при діленні на 4, якщо m дорівнює 1 або 3.

Отже, квадрат числа, що не кратне 4, може давати лише дві остачі при діленні на 4: 1 і 0 або 3 і 0.

Answer 3

Якщо число не кратне 4, то можливі остачі при діленні на 4 будуть 1 або 2.

Припустимо, що ми маємо число x, яке не кратне 4. Його квадрат позначимо як x^2. Якщо x ділиться на 4 з остачею 1, то x можна представити у вигляді x = 4k + 1 для деякого цілого числа k. Піднесемо це рівняння до квадрату:

x^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1.

Остання формула показує, що квадрат числа x ділиться на 4 з остачею 1.

Аналогічно, якщо x ділиться на 4 з остачею 2, то x можна представити як x = 4k + 2. Підносячи до квадрату, отримаємо:

x^2 = (4k + 2)^2 = 16k^2 + 16k + 4 = 4(4k^2 + 4k + 1) = 4m + 4,

де m = 4k^2 + 4k + 1. Отже, квадрат числа x ділиться на 4 з остачею 0.

Таким чином, квадрат числа, яке не кратне 4, може давати остачі 0 або 1 при діленні на 4.