Question

В університеті працює студентське самоврядування, яке допомагає університету вирішувати навчальні та побутові проблеми. Самоврядування складається з 20 студентів, і щорічно обирає собі голову з 4-х кандидатів. Кожен із двадцятки голосує лише за одного кандидата. Наприкінці голосування члени самоврядування складають протокол, у якому записують кількість голосів кожного кандидата, але не вказують, хто за кого проголосував. Скільки існує варіантів протоколів?​

Answer 1

Для вирішення цієї задачі можна скористатися формулою для кількості способів розміщення r об'єктів з n можливих варіантів вибору без повторень та без урахування порядку:

C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!),

де n - загальна кількість об'єктів (кандидатів), r - кількість об'єктів, які треба вибрати (голосів), ! - факторіал, що позначає добуток всіх натуральних чисел від 1 до n.

У цьому випадку загальна кількість кандидатів (n) дорівнює 4, а кількість об'єктів, які треба вибрати (r), дорівнює 1, оскільки кожен студент може проголосувати лише за одного кандидата. Таким чином, кількість можливих варіантів протоколів буде дорівнювати:

C(4, 1) = 4! / (1! * (4-1)!) = 4! / (1! * 3!) = 4.

Отже, існує 4 можливих варіанти протоколів.

Answer 2

Кількість варіантів протоколів можна обчислити за допомогою комбінаторики. Для обрання голови самоврядування потрібно вибрати одного кандидата з 4-х. Тому кількість способів обрати голову дорівнює 4.

Для кожного способу обрати голову, кожен із 20 студентів може проголосувати за будь-якого кандидата. Оскільки кожен студент може голосувати лише за одного кандидата, це означає, що кожен студент має 4 можливості вибору кандидата.

Оскільки голосування студентів незалежне, ми можемо використовувати правило множення для обчислення кількості варіантів протоколів. Таким чином, загальна кількість варіантів протоколів дорівнює добутку кількості способів обрати голову (4) і кількості способів, якими кожен студент може проголосувати (4^20):

4 * 4^20 = 4^(20 + 1) = 4^21

Тому існує 4^21 (близько 2.1 * 10^12) варіантів протоколів.