Question

Інтеграл від -2 до 3 (4х³-3х²+2х)dx

Answer 1

Щоб знайти інтеграл від функції 4x³-3x²+2x на інтервалі [-2, 3], ми можемо застосувати формулу інтегрування:

∫[a,b] f(x)dx = [F(x)]_a^b,

де F(x) є первісною функції f(x).

Отже, ми спочатку знайдемо первісну функції f(x):

F(x) = x⁴ - x³ + x²

Тепер, застосовуючи формулу інтегрування, ми отримаємо:

∫[-2,3] (4x³-3x²+2x)dx = [F(x)]_-2^3

= F(3) - F(-2)

= (3⁴ - 3³ + 3²) - ((-2)⁴ - (-2)³ + (-2)²)

= (81 - 27 + 9) - (16 + (-8) + 4)

= 63 - 12

= 51

Отже, інтеграл від функції 4x³-3x²+2x на інтервалі [-2, 3] дорівнює 51.

Answer 2

Щоб обчислити цей інтеграл, ми можемо застосувати правила інтегрування для кожного окремого терміна виразу та використати властивості лінійності інтегралу. Давайте розберемося з кожним терміном послідовно.

Інтеграл від 4x³ dx: Інтегрування мономів відбувається за формулою степеневої функції, де степінь збільшується на 1, а потім ділиться на нову степінь: ∫(4x³)dx = (4/4)x^(3+1)/(3+1) = x⁴/4

Інтеграл від -3x² dx: Аналогічно, застосуємо формулу степеневої функції: ∫(-3x²)dx = (-3/3)x^(2+1)/(2+1) = -x³

Інтеграл від 2x dx: ∫(2x)dx = 2/2 x^(1+1)/(1+1) = x²

Тепер давайте обчислимо окремі інтеграли та об'єднаємо їх, щоб отримати остаточний результат:

∫(4x³-3x²+2x)dx = ∫(4x³)dx - ∫(3x²)dx + ∫(2x)dx = x⁴/4 - x³ + x²

Тепер можемо обчислити значення цього виразу від -2 до 3:

∫-2, 3dx = [((3)⁴/4 - (3)³ + (3)²) - ((-2)⁴/4 - (-2)³ + (-2)²)] = [(81/4 - 27 + 9) - (16/4 + 8 + 4)] = [(81/4 - 27 + 9) - (4 + 8 + 4)] = [(81/4 - 27 + 9) - 16] = [(81/4 - 27 + 9) - 16] = [(81/4 - 27 + 9) - 16] = [20.25 - 27 + 9 - 16] = -13.75

Отже, значення інтегралу від -2 до 3 (4x³-3x²+2x)dx дорівнює -13.75.