Question

Допоможіть Обчислити кут між прямими х+5у-9=0 і 2х-3у-1=0

Answer 1

Для знаходження кута між двома прямими, необхідно взяти їх напрямні вектори та застосувати формулу косинуса кута між векторами.

Загальне рівняння прямої в просторі можна записати у векторному вигляді:

r = r_0 + tv,

де r - вектор точки на прямій, r_0 - вектор точки, через яку пряма проходить, t - параметр, а v - напрямний вектор прямої.

Таким чином, напрямний вектор першої прямої буде v₁ = <1, 5>, а другої - v₂ = <2, -3>.

Застосуємо формулу косинуса кута між векторами:

cos(θ) = (v₁ · v₂) / (|v₁| |v₂|),

де · позначає скалярний добуток, а |v| - довжина вектора v.

Знайдемо спочатку довжини векторів:

|v₁| = √(1² + 5²) = √26,

|v₂| = √(2² + (-3)²) = √13.

Тепер знайдемо скалярний добуток векторів:

v₁ · v₂ = 1·2 + 5·(-3) = -13.

Підставимо отримані значення в формулу для косинуса кута:

cos(θ) = (-13) / (√26 · √13) = -13 / √338.

Таким чином, кут між прямими дорівнює:

θ = arccos(-13 / √338) ≈ 122.36°.

Отже, кут між прямими х+5у-9=0 і 2х-3у-1=0 дорівнює приблизно 122.36°.

Answer 2

Щоб обчислити кут між двома прямими, можна скористатись формулою:

θ = arctan(|m₁ - m₂| / (1 + m₁ * m₂)),

де m₁ та m₂ - нахил прямих.

Приведемо рівняння двох прямих до канонічного вигляду (y = mx + c):

Перша пряма: х + 5у - 9 = 0 Перепишемо його у вигляді y = mx + c: 5у = -х + 9 у = (-1/5)х + 9/5

Таким чином, нахил першої прямої (m₁) дорівнює -1/5.

Друга пряма: 2х - 3у - 1 = 0 Перепишемо його у вигляді y = mx + c: 3у = 2х - 1 у = (2/3)х - 1/3

Таким чином, нахил другої прямої (m₂) дорівнює 2/3.

Підставимо значення m₁ та m₂ в формулу для обчислення кута:

θ = arctan(|(-1/5) - (2/3)| / (1 + (-1/5) * (2/3)))

Проведемо необхідні обчислення:

θ = arctan(|(-3/15) - (10/15)| / (1 + (-1/5) * (2/3))) = arctan(|(-13/15)| / (1 + (-1/5) * (2/3))) = arctan(|-13/15| / (1 - 2/15)) = arctan(13/15 / (15/15 - 2/15)) = arctan(13/15 / 13/15) = arctan(1) = 45°

Таким чином, кут між прямими дорівнює 45°.