Question

Знайти другі частинні похідні. Переконатися в тому, що z’’xy=z‘’yx. z=-tg(y/x - pi/2)

Answer 1

Ответ:

∂ z/ ∂ x=11+(x−3y)2⋅(x−3y)‘x=11+(x−3y)2

∂ 2z/ ∂ x2=(11+(x−3y)2)‘x=−1(1+(x−3y)2)2

∂ z/ ∂ y=11+(x−3y)2⋅(x−3y)‘y=−31+(x−3y)2

∂ 2z/ ∂ y2=(−311+(x−3y)2)‘y=91(1+(x−3y)2)2

∂ z/ ∂ x=11+(x−3y)2⋅(x−3y)‘x11+(x−3y)2

∂ 2z/ ∂ x ∂ y=(11+(x−3y)2)‘y=−3(1+(x−3y)2)2

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Щоб знайти другі частинні похідні функції z = -tg(y/x - pi/2), спочатку обчислимо перші частинні похідні, а потім візьмемо похідні від отриманих результатів.

Почнемо з обчислення перших частинних похідних:

dz/dx = (-1) * (1/cos^2(y/x - pi/2)) * (d/dx(y/x - pi/2)) dz/dy = (-1) * (1/cos^2(y/x - pi/2)) * (d/dy(y/x - pi/2))

Тепер обчислимо частинні похідні виразу y/x - pi/2:

d/dx(y/x - pi/2) = (1/x) * y' - y/x^2 d/dy(y/x - pi/2) = 1/x

Підставимо ці значення в похідні з dz/dx та dz/dy:

dz/dx = (-1) * (1/cos^2(y/x - pi/2)) * ((1/x) * y' - y/x^2) dz/dy = (-1) * (1/cos^2(y/x - pi/2)) * (1/x)

Тепер визначимо другі частинні похідні, виходячи зі значень dz/dx та dz/dy:

d^2z/dx^2 = d/dx(dz/dx) = (-1) * (d/dx(1/cos^2(y/x - pi/2)) * ((1/x) * y' - y/x^2) + (1/cos^2(y/x - pi/2)) * d/dx((1/x) * y' - y/x^2))

d^2z/dy^2 = d/dy(dz/dy) = (-1) * (d/dy(1/cos^2(y/x - pi/2)) * (1/x) + (1/cos^2(y/x - pi/2)) * d/dy(1/x))

Тепер можемо перевірити, чи збігаються d^2z/dx^2 та d^2z/dy^2:

d^2z/dx^2 = (-1) * (d/dx(1/cos^2(y/x - pi/2)) * ((1/x) * y' - y/x^2) + (1/cos^2(y/x - pi/2)) * d/dx((1/x) * y' - y/x^2))

d^2z/dy^2 = (-1) * (d/dy(1/cos^2(y/x - pi/2)) * (1/x) + (1/cos^2(y/x - pi/2)) * d/dy(1/x))

Тепер порівняємо ці два вирази і побачимо, чи дорівнюють вони один одному:

d^2z/dx^2 = d^2z/dy